¿Una demostración guiada visualmente del teorema fundamental del álgebra?

Question

Una raíz compleja de un polinomio $P(z)$ es un par de números reales $u,v$ que hacen simultáneamente la parte real y la parte imaginaria de $P(z)$ cero.

Los ceros de la parte real y de la parte imaginaria vienen dados por dos curvas en el plano complejo

$$\operatorname{Re}(P(u +iv)) = 0$$

$$\operatorname{Im}(P(u+iv)) = 0$$

Los ceros del polinomio son los puntos de intersección de estas dos curvas.

En aras de la especificidad, aquí están las dos curvas para $P(z) = z^5 + z^3 + z^2 + z + 1$ :

$u^5-6u^3v^2-4v^2u^3+5uv^4+ u^3-v^2u-2uv^2+u^2-v^2+u+1 = 0 $

$v^5+5vu^4-10u^2v^3+3u^2v-v^3+2uv+v=0$

El teorema fundamental del álgebra dice que tales curvas siempre se intersecan. Una demostración del teorema fundamental podría ser así: Las curvas $\operatorname{Re}(P(z)) = 0$ (rojo) y $\operatorname{Im}(P(z)) = 0$ (azul) - que son estrechamente relacionado - son tal y tal, por lo que deben intersecarse al menos una vez y como máximo $n$ veces (para $n$ el grado del polinomio).

Lo que se puede ver es que las curvas siempre vienen en $n$ ramas que se extienden hasta el infinito y que, por alguna razón, deben cruzarse.

$x^2 + x + 1$

$x^3 + x^2 + x + 1$

$x^4 + x^2 + x + 1$

$x^5 + x^3 + x^2 + x + 1$

¿Cómo se podría explicar tal prueba?

Answer 1

Esta idea es básicamente el enfoque del Teorema Fundamental del Álgebra adoptado por Gauss, en su tesis doctoral Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse . Es una bonita aproximación geométrica al teorema, pero difícil de completar con rigor. Le sugiero que lea C. Pruebas del Teorema Fundamental del Álgebra de Gauss por Harel Cain.