Probabilidad de supervivencia de un paseo aleatorio asimétrico de límite por una simétrica

Question

Considere dos caminos aleatorios que se inician desde el punto de $x=0$ y el tiempo de $t=0$ y se mueve a la derecha $x+1$ o a la izquierda $x-1$:

1) Walker 1 el primer paso es, con igual probabilidad a la derecha/izquierda. Sin embargo, cualquier otro movimiento depende de la jugada anterior: si se mueve a la derecha en la $k$^th paso, es más probable que se mueva a la izquierda en la $(k+1)$^th paso. Indicar su ubicación después de la $n$^th paso por $X_n$.

2) Walker 2 es simétrica aleatoria walker que en cada paso se va a la derecha o a la izquierda, con igual probabilidad. Indicar su ubicación después de la $n$^th paso por $Y_n$.

Demostrar que para todos los $m,n\geq 0$: $$\mathbb{P}\left(\max\limits_{1 \leq k \leq n}X_k\geq m\right) \leq \mathbb{P}\left(\max\limits_{1 \leq k \leq n}Y_k\geq m\right)\tag{1}$$

Intuitivamente, el Andador 1 ubicación es más centrados en torno al origen ya que cada vez que se mueve a la derecha, que tiene una tendencia a ir a la izquierda en el siguiente paso, pero me pareció difícil de probar. He comprobado que la utilización de la simulación. Pensé acerca de la inducción:

Caso Base: Vamos a $n=m$. Eq. (1) de la siguiente manera inmediata, ya que para $n=m$ significa que los Caminantes tienen que hacer $m$ pasos a la derecha, que es menos probable que el Andador 1.

Ahora, suponga que (1) es verdadera para $m,n$. Queremos concluir (1) por $m,n+1$. Observar:

$$\mathbb{P}\left(\max\limits_{1 \leq k \leq n+1}X_k\geq m\right)= \mathbb{P}\left(\max\limits_{1 \leq i \leq n}X_n\geq m\right)\\+ \mathbb{P}\left(\left\{\max\limits_{1 \leq i \leq n}X_n\leq m-1\right\} \cap\{ X_{n-1}=m-1\} \cap \{X_{n-1}=m\} \right).$$

El primer término en el lado derecho de arriba inmediatamente se demostró a partir de (1), pero el segundo término puede ser fácilmente delimitadas. Alguna idea?

Answer 1

$\def\aseq{\stackrel{\mathrm{a.s.}}{=}}\def\peq{\mathrel{\phantom{=}}{}}$Demasiado largo para un comentario.

Parece que esta proposición no es necesariamente cierto. La proposición puede ser reformulada como:

Dado que $U_1, U_2, \cdots$ son variables aleatorias tomando valores en $\{-1, 1\}$ con\begin{gather*} P(U_1 = -1) = P(U_1 = 1) = \frac{1}{2},\\ P(U_{n + 1} = U_n \mid \mathscr{F}_n) = P(U_{n + 1} = U_n \mid U_n) \leqslant \frac{1}{2}, \end{reunir*} donde $\mathscr{F}_n = σ(U_1, \cdots, U_n)$, e $V_1, V_2, \cdots$ son yo.yo.d. con $P(V_1 = -1) = P(V_1 = 1) = \dfrac{1}{2}$. Definir $X_n = \sum\limits_{k = 1}^n U_k$, $Y_n = \sum\limits_{k = 1}^n V_k$, luegode$$ P\left( \max_{1 \leqslant k \leqslant n} X_k \geqslant m \right) \leqslant P\left( \max_{1 \leqslant k \leqslant n} Y_k \geqslant m \right). \quad \forall n \geqslant 1,\ m \geqslant 0 $$

Equivalentemente, se afirma que$$ P(X_1 < m, \cdots, X_n < m) \geqslant P(Y_1 < m, \cdots, Y_n < m). \quad \forall n \geqslant 1,\ m \geqslant 0 $$

Ahora, construir inductivamente $\{U_n\}_{n \geqslant 2}$ así: Supongamos que $U_1, \cdots, U_n$ ya están construidas, a continuación, seleccione un evento de $A_n$ independiente de $σ(U_1, \cdots, U_n)$ tal que $P(A_n) = p_n \leqslant \dfrac{1}{2}$ y tome $U_{n + 1} = U_n I_{A_n} - U_n I_{A_n^c}$. Tal construido $\{U_n\}$ satisface$$ P(U_{n + 1} = U_n \mid \mathscr{F}_n) = P(U_{n + 1} = U_n \mediados de U_n) = P(A_n \mediados de U_n) \aseq p_n \leqslant \frac{1}{2}. $$

Para $m = 0$si $n = 2$ e $p_1 < \dfrac{1}{2}$, luegode$$ P(X_1 < 0, X_2 < 0) = P(U_1 = -1, U_2 = -1) = \frac{1}{2} p_1 < \frac{1}{4} = P(Y_1 < 0, Y_2 < 0). $$ Para $m = 1$si $n = 3$ e $(1 - p_1) p_2 > \dfrac{1}{4}$, entonces\begin{align*} &\peq P(X_1 < 1, X_2 < 1, X_3 < 1)\\ &= P(U_1 = -1, U_2 = 1, U_3 = -1) + P(U_1 = -1, U_2 = -1, U_3 = 1)\\ &\peq + P(U_1 = -1, U_2 = -1, U_3 = -1)\\ &= \frac{1}{2} (1 - p_1)(1 - p_2) + \frac{1}{2} p_1 (1 - p_2) + \frac{1}{2} p_1 p_2\\ &= \frac{1}{2} (1 - (1 - p_1) p_2) < \frac{3}{8} = P(Y_1 < 1, Y_2 < 1, Y_3 < 1). \end{align*} Por lo tanto, parece que la proposición no es necesariamente cierto en general.