¿Es una función convexa siempre continua?

Question

Es bien sabido que un convexo función definida en $\mathbb{R}$ es continua (es aún la izquierda y la derecha diferenciable. Ahora usted puede definir una función convexa de cualquier normativa espacio vectorial $E$ : $f : E\mapsto \mathbb{R}$ es convexa en el fib $$f\big(\lambda x + (1-\lambda)y\big) \le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$$

Sé que tal función no es necesariamente continua si $E$ tiene dimensión infinita: $f$ puede ser discontinua forma lineal. Por ejemplo, si $E = \ell^2(\mathbb{N})$ el espacio de sucesiones de cuadrado sumable (dotado con el supremum norma $||\cdot||_{\infty}$ lugar de su natural norma), y $f(u) = \sum \limits_{i \ge 1} \frac{u_i}{i}$, a continuación, $f$ es lineal, por lo tanto convexo, sin embargo, es bien sabido que $f$ no es continua.

Ahora mi pregunta es: ¿qué acerca de dimensiones finitas? ¿Existe una función convexa $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ que no es continua?

Sé que hay funciones discontinuas de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$ que tienen los derivados en cada dirección (que es un buen comienzo ya que esta es una condición necesaria !) pero yo no conozco a ninguna que es convexa.

Answer 1

10.1.1 corolario del análisis convexo por Rockafellar dice que todas las funciones convexas de <span class="math-container">$\mathbb R^{n}$</span> <span class="math-container">$\mathbb R$</span> son continuas. La prueba es muy larga y no vale la pena reproducir la prueba completa aquí. En el caso dimensional infinito hay son funcionales lineales discontinuos.

Answer 2

No: todas las funciones convexas $f: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ son continuas.

Aquí un poco más general de la declaración. Deje $f : \mathbb R^n \to \mathbb R$ ser una función convexa, y deje $\mathbf x^* \in \mathbb R^n$. Nos muestran que $f$ es continua en a$\mathbf x^*$.

Deje $S = \{\mathbf y \in \mathbb R^n : \|\mathbf x^* - \mathbf y\| = 1\}$. Nuestro primer objetivo es mostrar que hay algo de $M\in \mathbb R$ tal que $f(\mathbf y)\le M$ para todos los $\mathbf y \in S$.

Para demostrar que $M$ existe: por la desigualdad de Jensen, si $\mathbf x^{(1)}, \dots, \mathbf x^{(m)}$ son puntos arbitrarios en $\mathbb R^n$, e $\mathbf x$ es un punto en su casco convexo, entonces $f(\mathbf x)$ es un promedio ponderado de las $f(\mathbf x^{(1)}), \dots, f(\mathbf x^{(m)})$, por lo que es acotada arriba por $\max\{f(\mathbf x^{(1)}), \dots, f(\mathbf x^{(m)})\}$. A partir de ahí, es suficiente para encontrar un número finito de puntos cuyo casco convexo que contiene a$S$: por ejemplo, los vértices de un hipercubo circunscribe sobre $S$.

Ahora supongamos que tomamos un poco de $\mathbf x$ cerca de $\mathbf x^*$. Deje $r = \|\mathbf x^* - \mathbf x\|$; podemos suponer $r<1$, ya que en última instancia queremos considerar $\|\mathbf x^* - \mathbf x\|$ arbitrariamente pequeño.

En la línea a través de $\mathbf x$ e $\mathbf x^*$, podemos escoger los puntos de $\mathbf y^-, \mathbf y^+ \in S$ tales que aparecen en el orden en el $\mathbf y^-, \mathbf x^*, \mathbf x, \mathbf y^+$ en esa línea. Que puede ser definido por: $$ \mathbf y^- = \mathbf x^* - \frac{\mathbf x - \mathbf x^*}{r} \text{ y } \mathbf y^+ = \mathbf x^* + \frac{\mathbf x - \mathbf x^*}{r}. $$ A partir de esto, hemos

• $\mathbf x^* = \frac{r}{r+1} \mathbf y^- + \frac{1}{r+1} \mathbf x$, lo $f(\mathbf x^*) \le \frac{r}{r+1} f(\mathbf y^-) + \frac{1}{r+1} f(\mathbf x)$, lo que nos da el límite inferior $$f(\mathbf x) - f(\mathbf x^*) \ge r f(\mathbf x^*) - r f(\mathbf y^-) \ge r(f(\mathbf x^*) - M).$$
• $\mathbf x = r \mathbf y^+ + (1-r) \mathbf x^*$, lo $f(\mathbf x) \le r f(\mathbf y^+) + (1-r)f(\mathbf x^*)$, lo que nos da el límite superior $$f(\mathbf x) - f(\mathbf x^*) \le r f(\mathbf y^+) - r f(\mathbf x^*) \le r(M - f(\mathbf x^*)).$$

Poniendo a estos en conjunto, se consigue $$ -r(M - f(\mathbf x^*)) \le f(\mathbf x) - f(\mathbf x^*) \le r(M - f(\mathbf x^*)) $$ cual es la instrucción que tenemos que demostrar la continuidad. (Habitual en las $\epsilon$-$\delta$ forma: dado $\epsilon > 0$, tome $\delta = \frac{\epsilon}{M - f(\mathbf x^*)}$. Entonces si $\|\mathbf x^* - \mathbf x\| < \delta$, las desigualdades anteriores nos dicen que $|f(\mathbf x^*) - f(\mathbf x)| < \epsilon$.)

Answer 3

Sí, si $E$ es un infinito-dimensional real espacio de Banach, entonces discontinuo lineal funcional es discontinua función convexa. Pero el mapa de $f$ definido por $f(u)=\sum u_i/i$ es, sin duda continua en $\ell_2$.

No vas a ser capaz de escribir una fórmula para discontinuo funcional lineal sobre un espacio de Banach - toma el Axioma de Elección para demostrar tal cosa existe.

Answer 4

La respuesta a la pregunta del título es "no". Considere la posibilidad de cualquier función convexa $f$ definido en (0,1), y extender $f$ a [0,1) tomando la $f(0)$ como $1+\sup_{(0,1)}f(x)$. Así que necesitamos la condición de que el dominio de $f$ ser abierto.

En cuanto a la pregunta en el cuerpo, es suficiente para mostrar que $f$ es continua iff dada cualquier función de $g$ que se lleva a $\mathbb R$ a una línea en $\mathbb R^n$, la función de $t \rightarrow f(g(t))$ es continua.