Si $P(x)=x^3-2x+1$, definir $z_n$ a medida que el número de raíces reales del polinomio $P^{\circ n}(x)$, donde el superíndice denota $n$-composición del pliegue. Podemos encontrar una fórmula general para $z_n$, o tal vez una repetición de algún tipo? La secuencia comienza $3,7,15,27,47,...$ y no está en la OEIS.
Me han resuelto este problema para el polinomio $Q(x)=x^3-3x+1$, y se determinó que el número de ceros de $Q^{\circ n}$ es igual a $2^{n+1}-1$. Sin embargo, este problema fue mucho más fácil porque el máximo de los valores de $Q$ se producen en los valores enteros de a$x$ y los ceros de $Q$ son irracionales, permitiendo el descanso de la recta real en intervalos de la forma $[k,k+1]$ y siguió la pista de que los intervalos de $Q$ mapas en uno con el otro.
¿Alguien puede averiguar cómo hacer esto con $P(x)$? Este problema me ha desconcertado durante un tiempo, así que estoy dispuesto a ofrecer una $+50$ recompensa para una respuesta satisfactoria o análisis del problema (tan pronto como las reglas de MSE me va a permitir ofrecer).
También sería útil si alguien puede proporcionar una gran lista de valores de $z_n$, ya que todos los valores que se han obtenido al contar con la mano.
Saludos!
EDIT:se Debe a una forma cerrada de la fórmula o de la recurrencia de eludir cualquier potencial ms responden, también sería bueno para obtener un (comprobado) fórmula asintótica para $z_n$ lugar de una forma cerrada de la fórmula.
