En la notación de integración, ¿por qué puedes multiplicar du por un número?

Question

Cuando la integración de sin(x/2), por ejemplo, por medio de la sustitución, como en:

$\int \sin(\frac x2)$ $dx$

$\frac x2 = u$, $\frac{du}{dx} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2du = dx$

$\int \sin(u)$ $2du$

etc

¿Cómo es que el du puede ser multiplicado por 2 aquí, pensé que el dx representa a 'con respecto a x" o un valor muy pequeño de x. Así que, ¿significa esto que $2du = dx$ 2 * un muy pequeño cambio en la u es un muy pequeño cambio en x? Y ¿cómo puede ser separada de la parte principal de la integral, por lo que sólo se multiplica por dos en la final con el du 'desapareciendo'?

$-\cos(u) * 2$

$-2\cos(\frac{x}{2})$

Answer 1

Esta es una buena pregunta.

En general podemos tomar

$$\int f(x)\; dx$$ como un símbolo de su propio. En general no podemos romper el símbolo y la asignación de significado a cada uno de los componentes. Por lo $\int$ no es una determinada cantidad. (Por supuesto, $f(x)$ tiene sentido). Asimismo, $dx$ sobre su propio no está definido.

Ahora bien, tenemos la integración por sustitución. De acuerdo a esto, como un asunto de puro notación que permiten la escritura de $dx$ por su propia cuenta. Es un resultado que cuando hacemos eso, como usted ha hecho en su ejemplo, entonces realmente "funciona".

Así se nos permite tratar a $du$ $dx$ como cantidades que se definen, y nos han permitido multiplicar y dividir por ellos cuando hacemos la integración por sustitución. Así que si $$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}$$ nos movemos ("multiplicar") por $dx$ en ambos lados para obtener $$du = \frac{1}{2}dx.$$ A continuación, se multiplica por $2$ en ambos lados y obtener $$2du = dx.$$ Todo esto significa es que se le permite reemplazar la $dx$ en el orignial integral por $2du$. Y así se obtiene $$\int \sin(u)\; du.$$ Lo que en este sentido no nos consideración en general $dx$ $du$ a tener una vida fuera de uso en la integración por partes. (Ok, esto no es cierto. Hay otros lugares donde escribimos $dx$ en sus el propios).

En todo esto no podemos asignar un significado preciso a $dx$. Por lo $dx$ no significa "un pequeño cambio". Seguro que podemos pensar acerca de ella como tal, pero para ser precisos habría que definir lo "pequeño cambio".

Answer 2

Este es un caso donde no se nos dice la historia completa en un primer semestre en el curso de cálculo. Se nos enseña que el derivado $f^{1}(a)$ representa la pendiente de la curva de $y=f(x)$ en el punto de $x=a$. Si bien esto es cierto, otra manera de mirar la derivada es como una aproximación lineal a$f$$a$. Esto significa que si nos fijamos en $a$ como el origen en un espacio tangente a nuestra curva, en este caso una línea, $f^{1}(a)$ es la pendiente de la función que toma una entrada de $h$$f^{1}(a)h$. En este espacio de la tangente, la variable de entrada es no $x$ pero $dx$. Esencialmente, se obtiene una función de $dy = f^{1}(a)dx$ en este espacio de la tangente.

Hay muchos detalles que deben ser llenados en hacer este trabajo, pero esto es básicamente por esto podemos decir que si $u=x/2$, $du = \frac{1}{2}dx$. Ya que esto es sólo una función como $y=mx$, somos libres para manipular algebraicamente.