Cómo calcular manualmente las raíces

Question

Siempre he usado una calculadora para determinar las raíces. Pero creo que sería útil saber cómo hacerlo en papel. ¿Existen diferentes procedimientos para calcular las raíces cuadradas que las raíces cúbicas o todos usan los mismos principios?

Entonces mi pregunta es ¿cómo se calcula la raíz de un número a mano (por así decirlo)?

Answer 1

Una variedad de técnicas se muestran en la Wikipedia. Varios de ellos generalizar a raíces cúbicas. La elección depende de lo que la precisión que desee y la cantidad de trabajo que usted está dispuesto a hacer. Para la precisión baja frecuencia, usted puede utilizar una tabla puede tener memorizado y una pequeña corrección. Por ejemplo, para encontrar $\sqrt{26}$ se puede decir $26=25\cdot 1.04$, lo $\sqrt {26}=\sqrt{25}\sqrt {1.04}\approx 5\cdot 1.02 =5.1$ donde hemos utilizado $\sqrt {1+x} \approx 1+\frac x2$ pequeña $x$. El mismo funciona para las raíces cúbicas de usar $\sqrt[3]{1+x} \approx 1+\frac x3$

Answer 2

Una manera práctica es el uso de iteración de Newton (Wikipedia llama el método Babilónico, compruebe los detalles). Para cúbicos raíces: $$ f(x) = x^3 - n = 0 $$ da la iteración de Newton: $$ x_{k + 1} = x_k - \frac{f(x_k}{f'(x_k)} = \frac{1}{3} (2 x_k + n / x_k^2) $$ Punto de partida puede ser cocinado al igual que las raíces cuadradas. Deje $n$ ha $d + 1$ dígitos, entonces uno puede utilizar: $$ x_0 = \begin{cases} 1 \cdot 10^{d / 3} & d \bmod 3 = 0 \\ 2 \cdot 10^{\lfloor d / 3 \rfloor} & d \bmod 3 \ne 0 \end{casos} $$ Una técnica que el mismo Newton utilizado fue el uso de la expansión binomial de $(1 + x)^{1/2}$ pequeña $\lvert x \rvert$, es decir, tomar la más cercana a la plaza de $s^2$ y el: $$ n^{1/2} = \left(1 + \frac{n - s^2}{s^2}\right)^{1/2} $$

Answer 3

Hay un papel y lápiz raíz cuadrada algoritmo que funciona bastante bien, basado en la siguiente idea: Supongamos $n$ es el número que queremos encontrar la raíz cuadrada de, e $n'$ es el número que se obtiene al colocar sus dos últimos dígitos $\delta$. A continuación,$n = 100n' + \delta$.

Decir que ya tenemos $g$, una buena opcion para $\sqrt{n'}$. Queremos encontrar una buena opcion para $\sqrt n$. $10g$ será un buen comienzo, pero nos gustaría ajustar $10g$ hacia arriba para tomar los dos últimos dígitos, $\delta$, en cuenta. Así lo $\epsilon$ podemos añadir a $10g$, de modo que $(10g+\epsilon)^2 \approx 100n' + \delta$?

Podemos tratar de resolver por $\epsilon$ en la:

$$\begin{align} (10g+\epsilon)^2 & \approx 100n' + \delta \\ 100g^2+20g\epsilon+\epsilon^2 & \approx 100g^2+\delta \\ 20g\epsilon+\epsilon^2 & \approx \delta\\ \epsilon & \approx \frac\delta{20g+\epsilon} \end{align} $$

así que tome $\epsilon$, de modo que $\epsilon(20g+\epsilon) \approx \delta$; a continuación, $10g+\epsilon$ es una conjetura por $\sqrt n$. Podemos repetir este proceso para encontrar conjeturas para más y más números.

(Este es el algoritmo de Brian menciona en su comentario.)

Aquí es un ejemplo. Vamos a encontrar la raíz cuadrada de 142857. Para ello necesitamos una conjetura por la raíz cuadrada de 1428, para ello necesitamos una conjetura por la raíz cuadrada de 14. Una buena conjetura es 3. Así que tenemos $n'=14, g=3$. Sabemos que $(30)^2\approx 1400\approx 1428$, y queremos una mejor estimación de $\sqrt{1428}$. Así que nos gustaría encontrar a $\epsilon$ tal que $$\begin{align} (30+\epsilon)^2 & \approx 1428\\ 900 + 60\epsilon + \epsilon^2 & \approx 1428 \\ \epsilon(60+\epsilon) & \approx 528 \end{align} $$ Echando un vistazo a esto, se parece a $\epsilon=7$ está sobre la derecha. Así que nuestra nueva conjetura es que el $\sqrt{1428}\approx 37$.

Ahora queremos $\sqrt{142857}$ y supongo que $370$ no es demasiado lejos. Queremos $\epsilon$, de modo que $$\begin{align} (370+\epsilon)^2 & \approx 142857\\ 136900 + 740\epsilon + \epsilon^2 & \approx 142857 \\ \epsilon(740+\epsilon) & \approx 5957 \end{align} $$

$\epsilon=8$ es sólo una sombra demasiado grande, pero mucho más cerca de lo $\epsilon=7$, así que la respuesta es una sombra bajo 378. Si queríamos seguir, podríamos tomar a $\epsilon=8$, y para calcular la cantidad por la cual la raíz cuadrada debe quedar corto de 378, o podríamos tomar $\epsilon=7$, y para calcular la cantidad por la cual la raíz cuadrada debe exceder 377.

No es difícil llegar con un cubo (o superior) de la raíz analógica de este algoritmo, pero no es práctico, porque en lugar de tratar de calcular un $\epsilon$ que hace $20g\epsilon+\epsilon^2\approx \delta$, que es una división simple, usted tiene que calcular un $\epsilon$ que hace $300g^2\epsilon+20g\epsilon^2\epsilon^3\approx \delta$, que es demasiado duro.