¿Resolver o saber algo sobre una EDP no lineal que es "casi" lineal?

Question

Sea $a>0$ arreglarse. Tengo el siguiente PDE: $u=u(t,x)$ , $t\in [0,1]$ , $x\in \mathbb{R}$ , $$-\partial_t u = |\partial_x u| + \frac{1}{2}\partial_x^2 u, \quad u(1,x)=\delta_a(x)-\delta_{-a}(x),\quad \lim_{|x|\to \infty}u(t,x)=0.$$

Observa el valor absoluto. Si no hubiera valor absoluto la EDP sería lineal parabólica y la solución es posible.

La ecuación no es lineal pero "casi". ¿Hay algún truco o forma de encontrar o intuir la solución? En realidad, sólo me interesa el comportamiento de $u$ en la región $\mathbb{R}\setminus [-a,a]$ .

Me gustaría saber si $\partial_x u(t,x)<0$ en $\mathbb{R}\setminus [-a,a]$ para cada $t\in [0,1]$ . En otras palabras, si $x\mapsto u(t,x)$ es decreciente en $\mathbb{R}\setminus [-a,a]$ para cada $t\in [0,1]$ .

¿Alguna idea? Gracias :D

Answer 1

Por regla general, todos los problemas con los módulos que deben abordarse por intervalos: $$u=\begin{cases} \dot u,\text{ if }\dot u_x>0\\ \ddot u, \text{ if }\ddot u_x<0, \end{cases}$$ $$-\dot u_t= \dot u_x +\dfrac12\dot u_{xx},$$ $$-\ddot u_t= -\ddot u_x +\dfrac12\ddot u_{xx},$$

La peculiaridad del caso PDE es que en los puntos de transición por cero del módulo deben estar "grapadas" las soluciones obtenidas mediante condiciones de contorno de la forma $$\begin{cases}\dot u_y(x_i, t_i\pm0) = \ddot u_y(x_i, t_i\mp0)\\ \dot u(x_i\pm0, t_i) = \ddot u(x_i\mp0, t_i)\\ \dot u_x(x_i\pm0, t_i) = \ddot u_x(x_i\mp0, t_i)\end{cases}.$$ Así, el dominio se tipifica soluciones a partir de varios fragmentos, unidos por las condiciones de "grapado".

El problema es de tipo parabólico, en el que la solución para un determinado tiempo $t$ depende sólo de los valores pasados y no depende de los posteriores. Esto permite dividir la tarea en una serie de pasos temporales, cada uno de los cuales es fácil de delimitar zonas $\dot u$ y $\ddot u$ . Esto significa que el problema permite una aplicación sencilla en redes informáticas.