¿Cómo probar la relación de dos funciones simples?

Question

Dadas dos funciones $f(x)>0$ y $g(x)>0$ $x\in[a,b]$, si satisfacen las siguientes limitaciones:\begin{cases} f''(x) >0 \ g''(x) = 0\ f(a)=g(a)\ \int_a^bf(x)\mathrm{d}x= \int_a^bg(x)\mathrm{d}x \end{casos}, entonces el asimiento siguiente de conclusiones:

1. $f(x)$ y $g(x)$ debe tener y sólo tiene una intersección en el intervalo $(a,b)$.
2. Si nos indican la coordenada x de la intersección con $s$, entonces:\begin{cases} f(x)<g f="" x="">g(x),\qquad \mathrm{if}\quad x \in (s,b) \end{casos}</g>

Pero, ¿cómo probarlo?

¿Me puedes ayudar?

Answer 1

Aquí le damos una idea. Tenga en cuenta que si no hay un punto en el intervalo $[a,b]$ en que $f(x)>g(x)$, entonces el área bajo dos curvas no puede ser igual.

Además, puesto que estas dos curvas tienen la misma área bajo las curvas en el intervalo $[a,b]$, debería ser obvio que

$\int_a^s g(x)-f(x)dx=\int_s^bf(x)-g(x)dx$

Esto significa que parte de $g(x)$sobre $f(x)$de % de % es igual a la porción de $f(x)$por encima del $g(x)$ % en el intervalo $[a,b]$ que tiene porque debe "compensar" el área estaba bajo $f(x)$ $g(x)$.

Answer 2

$\int_{a}^{b}f(t) dt = \int_{a}^{b} g(t) dt$

$\int_{a}^{b} f(t)-g(t) dt=0$

Sabemos que $f$ $g$ son diferenciables, por lo que debe ser continua.

Si $f(t)$ $g(t)$ no se cruzan, a continuación, $f(t)-g(t)$ no cambia de signo, entonces $f(t)-g(t)>0$ o $f(t)-g(t)<0$ todas partes en $(a,b)$ y la integración no nos va a dar $0$, lo cual es una contradicción.

También tenga en cuenta que $(f-g)''>0$, por lo tanto $(f-g)'$ aumenta. Sabemos que $(f-g)(a)=0=(f-g)(s)$, por lo tanto $\exists w \in (a,s), (f-g)'(w)=0$.

Desde $(f-g)'$ aumenta, $\forall x \in (a,w), (f-g)'(x)<0 \implies \forall x \in (a,w), (f-g)(x) \leq (f-g)(a)=0$.

Del mismo modo, $\forall x \in (w,s), (f-g)'(x)>0 \implies \forall x \in (w,s), (f-g)(x) \leq (f-g)(s)=0 $.

Por lo tanto $\forall x \in (a,s), (f-g)(x) \leq 0.$

De nuevo, usando el hecho de que $\forall x \in (s,b), (f-g)'(x)>0$, podemos concluir que $\forall x \in (s,b), (f-g)(x) \geq (f-g)(s)=0$

Answer 3

La segunda condición realmente sólo dice que $g$ es una función afín, es decir, una línea recta. La primera dice que el $f$ es convexa, es decir, se parece en algo a la izquierda en esta imagen.

Tenemos $f(a)=g(a)$. Ahora, es fácil dibujar una imagen de una línea recta y una función convexa que iniciar desde el mismo punto, y no se cortan a todos después. Pero en ese caso, cualquiera de las $f>g$ en todo el intervalo de o $f<g$ en todo el intervalo. En cualquier caso, definitivamente no ha $\int_a^b f = \int_a^b g$!

Si las áreas debajo de los dos gráficos de cualquier oportunidad en igualdad de condiciones, luego de un necesario (pero no suficiente) la condición es que la función convexa $f$ a veces bajo y a veces sobre la línea recta $g$. De hecho, es fácil ver que $f$ debe comenzar menor que la línea recta $g$, entonces se levantan y cortar a través de él en algún momento. También es fácil ver que ellos no pueden cruzarse después de ese punto. Ahora sólo es cuestión de convertir lo que es visualmente evidente en una rigurosa prueba. He aquí un resumen:

1. Probar cuidadosamente que $g$ constante de derivados y que $f$ ha estrictamente creciente de derivados.
2. Deje $m$ (constante), derivado de $g$. Probar que si $f'(a)\geq m$,$f>g$$(a, b]$. A la conclusión de que $f'(a)<m$. El uso que demostrar que no existe un intervalo de $(a, a+\epsilon]$ que $f<g$.
3. Si $f$ nunca cruzaba $g$, por lo tanto, se ha $f<g$ en todo el intervalo y sus integrales no podría ser igual. Deje $s=\inf\{x\in(a, b)|f(x)=g(x)\}$, $s$ es la primera vez en que $f$ $g$ cumplir. Demostrar rigurosamente que $f(s)=g(s)$.
4. Demostrar que $f'(s)>m=g'(s)$, en otras palabras, cuando la función convexa $f$ a través de recortes de la línea recta $g$ desde abajo, debe ser más pronunciado que el de línea recta, que es visualmente evidente. A la conclusión de que $f>g$ $(s, b]$ y que, por tanto, $s$ es el único punto de intersección de $f$$g$.

Answer 4

Para la primera pregunta creo que la Brouwer de punto fijo teorema sería suficiente para demostrar que lo es, porque cada punto de $f(x)$ tiene un único punto de $g(x)$ para el mismo intervalo de tiempo en las condiciones que el teorema de los estados. Que significa que se cruzan en un solo punto. Este es un extracto de la Wikipedia:

Caso unidimensional

"En una dimensión, el resultado es intuitivo y fácil de probar. La función continua $f$ está definida en un intervalo cerrado $[a, b]$ y toma valores en el mismo intervalo de tiempo. Diciendo que esta función tiene un punto fijo que equivale a decir que su gráfica (de color verde oscuro en la figura) se cruza con la de la función definida en el mismo intervalo de $[a, b]$ que se asigna a $x$ $x$(luz verde).

De forma intuitiva, cualquier línea continua desde el borde izquierdo de la plaza hacia el borde derecho debe necesariamente se cruzan el verde diagonal. Prueba: considere la función $g$ que se asigna a $x$ a $f(x)$ - $x$. Es $\ge 0$$a$$\le 0$$b$. Por el teorema del valor intermedio, $g$ tiene un cero en $[a, b]$; este cero es un punto fijo."