Subgrupo de isometrías en el espacio euclidiano

Question

Deje $G$ ser un subgrupo finito de $\operatorname{Isom}(\mathbb R^n)$. Considerando que el centro de gravedad (es decir, en promedio) de la órbita de el origen de unter $G$, muestran que $G$ corrige algunos punto de $\mathbb R^n$. Si $n=2$, muestran que $G$ es cíclico o diedro (que es $D_4=\mathbb Z/2\times\mathbb Z/2$, y para $n\ge3$, $D_{2n}$ es el completo grupo de simetría de un regular $2n$-gon.)

Estoy luchando para mostrar ambas partes. Cualquier ayuda será apreciada, especialmente cuando estos son dos de los resultados que estoy usando más tarde, en otras preguntas.

Answer 1

Sugerencia: cada grupo finito$G$ tiene órbitas finitas. Los conjuntos finitos en el espacio euclidiano tienen baricentro único. Ahora, calcule la cardinalidad de la órbita$G$ - del baricentro de un$G$ - órbita$G\cdot x$. Este cálculo le indicará cómo encontrar un punto fijado por$G$.