Cardinalidad del cociente

Question

Dado que$X$ es un espacio topológico, consideramos que$\mathcal{F}$ es la clase de todos los mapas continuos$f:X\to H$ donde$H$ es un grupo topológico ... (editado) y$|H|\le |X|$

Si$f,g\in\mathcal{F}$, diga$f:X\to H_f$ y$g:X\to H_g$, considere la relación definida por$f\sim g$ si existe un homeomorfismo$\psi : H_f\to H_g$ tal que$g = \psi\circ f$.

Quiero mostrar que el cociente$\mathcal{F}/\sim$ es un conjunto cuya cardinalidad no es mayor que$2^{2^{|X|}}$

¿Alguna pista?

Answer 1

Voy a considerar sólo el caso de al $X$ es infinito. Parece que el siguiente.

Ya que cada topología en el set $H$ es un subconjunto de a $2^H$, podemos ver que hay en la mayoría de las $\le 2^{2^|H|}$ grupo de topologías en el set $H$. Desde una multiplicación en un conjunto $H$ es un mapa de $H^{H\times H}$, podemos ver que hay en la mayoría de los $|X|^{|X|\times |X|}\cdot |X|\cdot 2^{2^{|X|}}=2^{2^{|X|}}$ no isomorfos topológicos, grupos de tamaño en la mayoría de las $|X|$. A continuación,$|\mathcal F/\sim|\le |(2^{2^{|X|}})^{|X|}|=2^{2^{|X|}}$.

PS. Es más natural para definir las relaciones de equivalencia por topológico isomorphisms en lugar de homeomorphisms.