Aproximación de pilas / espacios algebraicos

Question

Dejemos que $B$ sea un anillo que es el colímite de los anillos $B_\lambda$ . Sea $X_\lambda$ sea una pila (no necesariamente algebraica) sobre $B_\lambda$ tal que $X_\lambda \times_{B_\lambda} B_\mu = X_\mu$ y que $X = X_\lambda \times_{B_\lambda} B$ .

Si $X$ es una pila algebraica, entonces hace algún $X_\lambda$ ¿tiene que ser algebraico? ¿Hay suposiciones que podamos añadir para que esto sea cierto? ¿Y si el $X_\lambda$ son gavillas (por lo que la pregunta se convierte en: si $X$ es un espacio algebraico, entonces es algún $X_\lambda$ un espacio algebraico)?

Answer 1

La respuesta es no, incluso para el caso de la gavilla.

En primer lugar, habría que hacer algunas suposiciones, como suponer que X _λ → Spec(B _λ ) es localmente de presentación finita. Para simplificar, supongamos también que el espacio algebraico X es de presentación finita sobre Spec(B). Entonces si U→X es una presentación étale, desciende a una morfismo U _λ →X _λ . Ahora bien, el principal problema es que aunque este morfismo sea ético tras el cambio de base a X, no podemos garantizar que finalmente se convierta en ético. De hecho, esto está relacionado con la apertura de la versalidad en el teorema de algebraización de Artin.

Por ejemplo, dejemos que B ₀ sea un anillo y sea B=colim B _λ sea un límite directo de álgebras esencialmente etélicas tal que B sea henseliana. Si la apertura de la versalidad es válida para X _λ , entonces U _λ →X _λ es suave en una vecindad de la imagen de U→U _λ y (al menos si B ₀ es noetheriano) se deduce que U _λ →X _λ es suave para una λ suficientemente grande.

Pero ... la apertura de la versatilidad no se mantiene para X general _λ . Artin ha dado un buen puñado de ejemplos en los que se cumple todo menos esto (véase "The implicit function theorem in algebraic geometry", S5). Por ejemplo, dejemos que B ₀ \=k[x] sea la línea afín y sea B la henselización (o localización) en el origen. Sea X ₀ ser una gavilla "mala", por ejemplo, la siguiente (Ex. 5.10):

Dejemos que X ₀ \=colim _k X _0,k donde X _0,i \=Spec(k[x,y]/y(x-1)(x-2)...(x-k)) - la unión del eje x y k líneas verticales. Este es un ejemplo de un espacio interior, así que por definición:

  X ₀ (T)=colim _k X _0,k (T)

para cualquier esquema T. Entonces, claramente, X=X ₀ × _{B 0} Spec(B) es isomorfo a Spec(B) pero X _λ no es un espacio algebraico para cualquier λ.

Si se asume que la apertura de la versatilidad se mantiene para X _λ y que el Spec(B)→Spec(B _λ ) son suaves, entonces la respuesta a su pregunta es probablemente "sí". Sin embargo, la apertura de la versalidad es el más sutil de los criterios de Artin, por lo que probablemente sea difícil de afirmar.