La generación de la función de enfoque es buscar el coeficiente de $x^{100}$ $(1+x+x^2+x^3+\cdots)(1+x^5+x^{10}+x^{15}+\cdots)(1+x^{10}+x^{20}+x^{30}+\cdots)(1+x^{25}+x^{50}+x^{75}+\cdots)(1+x^{100}+x^{200}+x^{300}+\cdots)$
Más detalles, como se solicitó.
Vamos a imaginar que la multiplicación de estos (infinito) polinomios, y la recopilación de términos. Vamos a hacer esto de bajo grado alto grado. El término constante es $1$, la cual sólo puede obtenerse mediante la elección de $1$ a partir de cada uno de los cinco productos. El $x$ plazo es sólo $x$, que sólo puede obtenerse mediante la elección de $x$ desde el primer producto y $1$ de cada uno de los otros. El $x^2$ plazo es sólo $x^2$, que sólo puede obtenerse mediante la elección de $x^2$ desde el primer producto y $1$ de cada uno de los otros. Del mismo modo $x^3, x^4$.
Pero ahora el $x^5$ plazo es $2x^5$ -- una pieza proviene de la elección de $x^5$ desde el primer producto y $1$ de cada uno de los otros, y otra pieza proviene de la elección de $x^5$ a partir del segundo producto y $1$ de cada uno de los otros. Esto corresponde directamente a las dos formas en que podemos hacer cinco centavos, con cinco centavos (y cero, cinco, cero dimes, etc.) o con uno de níquel. De pasar, el coeficiente de $x^{10}$ es de 4, que viene de $x^{10}\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1 + x^{5}\cdot x^{5}\cdot 1\cdot 1\cdot 1+1\cdot x^{10}\cdot 1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot x^{10}\cdot 1\cdot 1$. Esto corresponde a las cuatro posibilidades de diez centavos (el décimo término de la moneda de un centavo de producto), cinco centavos y uno de níquel (el quinto término de la moneda de un centavo de producto y el segundo término del níquel producto), dos monedas de cinco centavos (el segundo término del níquel del producto), y una moneda de diez centavos (el primer término de la moneda de diez centavos de producto).
En todos los casos la elección de $1$ a partir de un producto es la misma que la elección de $x^0$, o el cero-ésimo término de ese producto, o ninguno de la moneda.
De hecho podemos simplificar los productos porque son series geométricas, así que queremos que el coeficiente de $x^{100}$ $$\frac{1}{1-x}\frac{1}{1-x^5}\frac{1}{1-x^{10}}\frac{1}{1-x^{25}}\frac{1}{1-x^{100}}$$
Podemos alimentar esta en wolframalpha (buscar por "la expansión en cero" y haga clic en "más términos" un par de veces) para encontrar la respuesta es $243$.
