Dimensión del conjunto de matrices conmutables

Question

Dejemos que $A$ ser un $n \times n$ matriz compleja y $V = \{B\mid AB=BA\}$ .

He demostrado que $V$ es un espacio vectorial. ¿Cómo puedo demostrar que $\dim V \ge n$ para cualquier $A$ ?

Answer 1

Algunas pistas:

1. Comience por considerar el caso de que $A$ es un bloque de Jordan y calcular el resultado para este caso (se puede hacer mediante un cálculo explícito).

2. Generalice esto a una matriz en forma normal de Jordan (encuentre "matrices base" para cada bloque de Jordan, observe que son linealmente independientes y demuestre que obtiene al menos $n$ de ellos).

3. Generalizar de nuevo a todas las matrices complejas, haciendo uso del hecho de que si $J$ es la forma normal de Jordan de $A$ , $J = M^{-1} A M$ para alguna matriz invertible $M$ y conjugando las matrices base del paso 2 con $M$ .