¿Es la geometría hiperbólica bidimensional única hasta el isomorfismo?

Question

Puede que se haya respondido a esta pregunta en algún sitio, pero no la encuentro.

¿La geometría hiperbólica 2D es única hasta el isomorfismo (o hasta lo que sea apropiado)? Sé que hay al menos cuatro modelos: disco de Poincare, semiplano, etc., pero supongo que son esencialmente iguales en algún sentido.

Otra forma de plantear mi pregunta: supongamos que mantenemos los cuatro primeros postulados de Euclides, pero sustituimos el equivalente de Playfair del postulado paralelo ("Dada una recta L y un punto P que no está en L, existe como máximo una recta que pasa por P que no interseca a L) por "Dada una recta L y un punto P que no está en L, existen como mínimo dos rectas que pasan por P que no intersecan a L". ¿Podemos deducir de los cinco axiomas resultantes que a lo sumo una geometría que resulta?

Gracias por cualquier ayuda que pueda ofrecerme. Las referencias serían especialmente apreciadas. Soy analista, así que sé leer matemáticas, pero no soy un experto en esta área, así que estoy buscando fuentes que sean accesibles para los matemáticos en general.

Saludos cordiales,

Bob

Answer 1

La correspondiente noción de aquí es isometría: si los puntos de $a$ $b$ se asignan a $a'$ $b'$ respectivamente, la distancia entre los puntos $d(a,b) = d'(a',b')$. $d$ y $d'$ aquí denotar que el representado a la distancia, no la distancia Euclidiana entre los puntos en el modelo. La geometría es acerca de la medición de distancias, por así decirlo.

Suponiendo que los cuatro postulados de Euclides, además de su variante de el, el axioma de Playfair, usted tiene que la curvatura es fijo y negativos, pero el valor específico de curvatura no es conocido. Con la curvatura -1, un triángulo con los cuatro ángulos de 45 grados, cada uno tiene un área de $\pi/4$. Si la curvatura es decir, -2, este triángulo tiene un área de $\pi/8$; en general, la suma de los ángulos de un triángulo menos $\pi$ es igual a área de los tiempos de la curvatura (o, para las superficies donde la curvatura no es constante, la integral de la curvatura). La curvatura es sólo la cuestión de la escala (una esfera de mayor tamaño tendrá más pequeños (positivo) de la curvatura, pero es esencialmente la misma forma).

Cuando nos corregir la curvatura -1, todos los modelos comunes (Poincaré, Klein, hyperboloid, medio-plano) son isométrica (mi página enumera los modelos comunes y varios menos comunes; pero no tengo referencias de cómo los postulados más de la curvatura de la revisión de la geometría). Una analogía útil: los cartógrafos utilizan muchas de las proyecciones de la superficie de la esfera (estereográfica, Mercator, etc.) pero todos describir el mismo objeto matemático en un mapa plano en 2D, y dado que la esfera no es plana, ninguno de ellos es perfecto, y tienen diferentes ventajas y desventajas. Lo mismo es cierto acerca de los modelos de la geometría hiperbólica.

Las superficies de curvatura constante necesidad de no ser isométrica a plano hiperbólico, debido a que puede corresponder a tan sólo un fragmento de un avión (un disco no es isométrico a todo el avión, a pesar de que ambos tienen la curvatura 0) o pueden ser envueltos (un cilindro no es isométrico a todo el avión, a pesar de que ambos tienen la curvatura 0 -- esto sucede con la tractricoid aka pseudosphere, que aparece a veces como un modelo de la geometría hiperbólica). Sin embargo, tales casos no se cumplen los postulados.

El isométrico de correspondencias entre los modelos comunes no sólo existen, sino que también son dadas por fórmulas simples. Por ejemplo, la correlación entre la media de avión y el disco de Poincaré es la inversión, y Klein/Poincaré/Gans modelos se obtienen a partir de la hyperboloid modelo con una simple transformación de perspectiva.