¿Qué uniforme de funciones continuas?

Question

Cuando veo a una función, quiero ser capaz de determinar rápidamente si es uniformemente continua o no. Generalmente, este tipo de habilidad que viene después de ser expuestos a diferentes ejemplos que o no tienen la característica deseada, pero la pregunta en este sitio acerca de ejemplos de funciones que son continuas pero no uniformemente continua en todo punto de a sólo un ejemplo ($f(x)=\frac 1 x$). Cuáles son las propiedades que distinguen a funciones continuas de uniforme de funciones continuas?

Una inmediata respuesta a mi pregunta es que Lipschitz continua en funciones uniformemente continuas. Visualmente, el gradiente de un Lipschitz continua en función siempre será limitada. El uso de esta propiedad, $f(x)=\frac 1 x$ tiene una desenfrenada gradiente de la función, lo que implica que $f$ no es Lipschitz continua de la función. Pero hay algunas funciones que son uniformemente continuas, pero no de Lipschitz continua, por lo que esta es no probar si una función es no uniformemente continua, sólo si una función es uniformemente continua.

Answer 1

Mi comprensión intuitiva de una manera uniforme función continua es que no se acelera sin límite y, a continuación, permanecer allí como la propia función aumenta (o disminuye) sin límite. Por lo $x^2$ no es uniformemente continua, porque se hace más rápido y más rápido y más rápido y nunca se ralentiza, pero $\sqrt[3]{x}$ es, porque a pesar de ser vertical $x=0$ a continuación, se ralentiza de nuevo.

Answer 2

Dado cualquier $\def\nn{\mathbb{N}}$$\def\rr{\mathbb{R}}$$n \in \nn$, cualquier cerrada delimitada subconjunto de $\rr^n$ es compacto.

Dada cualquier función continua $f$ en un subconjunto compacto $S$$\rr^n$, podemos demostrar que $f$ es uniformemente continua en a $S$.

Por lo tanto, cualquier forma no uniforme función continua no debe tener (continua) la extensión de un dominio compacto.

Dos ejemplos:

1. Deje $f : \rr_{\ne 0} \to [0,1]$ tal que $f(x) = \sin(\frac{1}{x})$ cualquier $x \in \rr_{\ne 0}$. A continuación, $f$ es continua en a$\rr_{\ne 0}$, pero no uniformemente continua. (El agujero en $0$ no puede ser parcheado.)

2. Deje $f : \rr \to \rr$ tal que $f(x) = x \sin(x)$ cualquier $x \in \rr$. A continuación, $f$ es continua en a$\rr$, pero no uniformemente continua. (Suelta de dominio nunca es compacto.)

Por supuesto, algunos uniforme de funciones continuas no tienen un dominio que puede ser extendido a un compacto con una sola, como una función de paso.