¿Las unidades de ángulo son realmente adimensionales?

Question

Sé que matemáticamente la respuesta a esta pregunta es sí, y es muy obvio ver que las dimensiones de un cociente se cancelan, dejando una cantidad matemáticamente sin dimensiones.

Sin embargo, he estado escribiendo un biblioteca de análisis dimensional c++ (cuyos detalles están fuera del alcance), lo que me hace pensar en el problema porque decidí manejar las unidades de ángulo como cantidades acotadas, lo que parecía natural para permitir la conversión de unidades con grados. El propósito general de la biblioteca es no permitir operaciones que no tienen sentido porque violan las reglas del análisis dimensional, por ejemplo, la adición de una cantidad de longitud a una cantidad de área, y por lo tanto proporcionan alguna comprobación de cordura incorporada al cálculo.

Tratar los radianes como unidades tenía sentido por algunas de las propiedades que me parecían tener las cantidades acotadas:

1. La suma y la diferencia de dos cantidades con la misma dimensión tienen el mismo significado físico que ambas cantidades por separado.
2. Las cantidades con la misma dimensión son significativamente comparables entre sí, y no significativamente comparables (directamente) a cantidades con dimensiones diferentes.
3. Las cotas pueden tener diferentes unidades que son un múltiplo escalar entre sí (a veces con un desplazamiento del dato).

Si el ángulo se trata como una dimensión, mis 3 propiedades inventadas se satisfacen, y todo "tiene sentido" para mí. No puedo evitar pensar que el hecho de que los radianes sean una relación de longitudes (el SI los define como m/m) es realmente importante, aunque la longitud se anule.

Por ejemplo, aunque los radianes y los estereorradianes son ambos adimensionales, sería un error lógico tomar su suma. Tampoco veo cómo una relación de algo como (kg / kg) podría describirse como un "ángulo". Esto me parece que implica que no todas las unidades adimensionales son compatibles, lo que parece análogo a cómo las unidades con diferentes dimensiones no son compatibles.

Y si no todas las unidades adimensionales son compatibles, entonces la "dimensión" adimensional violaría la propiedad inventada #1 y me causaría mucha confusión.

Sin embargo, tratar los radianes como si tuvieran dimensión también tiene muchos problemas, porque ahora tus funciones trigonométricas tienen que escribirse en términos de cos(angleUnit) = dimensionlessUnit aunque sean funciones analíticas (aunque no estoy convencido de que eso sea malo). Los supuestos de ángulos pequeños en este esquema se definirían como la realización de conversiones implícitas de unidades, lo cual es lógico dadas nuestras definiciones de funciones trigonométricas, pero es incompatible con la forma en que se definen muchas funciones, especialmente porque muchos autores olvidan mencionar que están haciendo esos supuestos.

Así que supongo que mi pregunta es: ¿son todas las cantidades adimensionales, pero específicamente las cantidades angulares, realmente compatibles con todas las demás cantidades adimensionales? Y si no, ¿no tienen realmente dimensión, o al menos las propiedades de la dimensión?

Answer 1

Las respuestas son no y no. Ser adimensional o tener la misma dimensión es una condición necesaria para que las cantidades sean "compatibles", no es suficiente. Lo que se intenta evitar se llama error de categoría. Hay una situación análoga en la programación informática: se quiere evitar poner valores de algunas tipo de datos en lugares reservados para otro tipo de datos. Pero si bien es cierto que es necesario que los valores tengan la misma dimensión para pertenecer al mismo "tipo de datos", no hay razón para que no puedan estar delimitados por muchas otras categorías además de esa.

Medidor Newton es una unidad tanto de par como de energía, y julios por kelvin tanto de entropía como de capacidad calorífica, pero sumarlos suele ser problemático. Lo mismo ocurre con la adición de las proverbiales manzanas y naranjas medidas en "unidades adimensionales" de números de conteo. En realidad, el último ejemplo muestra que la demarcación de las categorías depende de un contexto, si a uno sólo le importan las manzanas y las naranjas como objetos podría estar bien sumarlas. La dimensión es tan prominente en la física porque rara vez tiene sentido mezclar cantidades de diferentes dimensiones, y hay un bonito cálculo ( análisis dimensional ) para llevar el control. Pero también tiene sentido introducir categorías adicionales para delimitar los valores de cantidades como el par y la energía, aunque no haya un cálculo tan bueno para ellos.

Como muestran tus propios ejemplos, también tiene sentido tratar los radianes de forma diferente según el contexto: tener en cuenta su categoría ("dimensión"), es decir, los estereorradianes o los números de conteo, a la hora de decidir sobre la adición, pero no tenerla en cuenta cuando se trata de sustituirlos en funciones trascendentales. El hertzio se utiliza normalmente para medir la frecuencia de las ondas, pero como los ciclos y los radianes son oficialmente adimensionales, comparte dimensión con la unidad de velocidad angular, el radián por segundo; los radianes son también la única diferencia entre los amperios para la corriente eléctrica y los amperios-vuelta para la fuerza magnetomotriz. Del mismo modo, los estereorradianes adimensionales son la única diferencia entre lumen y candela , mientras que la intensidad y el flujo luminoso suelen distinguirse. Así que en esos contextos también podría tener sentido tratar a los radianes y estereorradianes como "dimensionales".

De hecho, los radianes y los estereorradianes fueron una clase propia como "unidades suplementarias" del SI hasta 1995. Ese año, el La Oficina Internacional de Pesos y Medidas (BIPM) decidió que " El estatus ambiguo de las unidades suplementarias compromete la coherencia interna del SI ", y los reclasificó como " unidades derivadas adimensionales, cuyos nombres y símbolos pueden utilizarse, aunque no es necesario, en las expresiones de otras unidades derivadas del SI, según convenga ", eliminando así la clase de unidades suplementarias. El deseo de mantener una regla general según la cual los argumentos de las funciones trascendentales deben ser adimensionales puede haber desempeñado un papel, pero esto demuestra que el estatus dimensional se decide hasta cierto punto por convención y no por hecho. En la misma línea, El amperio se introdujo como una nueva unidad de base en el sistema MKS sólo en 1901, y se incorporó al SI aún más tarde. Como su nombre indica, el MKS se conformó originalmente con sólo metros, kilogramos y segundos como unidades de base, lo que requería potencias fraccionarias de metros y kilogramos en las unidades derivadas de la corriente eléctrica.

Como señaló @dmckee la energía y el par pueden distinguirse como escalares y pseudoescalares, lo que significa que bajo las transformaciones de inversión de orientación como las reflexiones, los primeros mantienen su valor mientras que los segundos cambian de signo. Esto trae a colación otra categorización de las magnitudes que desempeña un gran papel en la física, por las reglas de transformación bajo cambios de coordenadas. Entre los vectores hay vectores "verdaderos" (como la velocidad), covectores (como el momento) y pseudovectores (como el momento angular), de hecho todas las magnitudes tensoriales están categorizadas por representaciones del grupo ortogonal (en relatividad Lorentz). Esto también viene con un bonito cálculo que describe cómo se combinan los tipos de tensor bajo varias operaciones (producto punto, producto tensor, producto cuña, contracciones, etc.). Una de las razones para reescribir la electrodinámica de Maxwell en términos de formas diferenciales es llevar la cuenta de ellas. Esto se vuelve importante cuando digamos que la métrica de fondo no es euclidiana, porque la identificación de vectores y covectores depende de ella. De todos modos, los diferentes tipos de tensor tienden a tener diferentes dimensiones, pero hay excepciones y las categorizaciones son claramente independientes.

Pero incluso el tipo de tensor puede no ser suficiente. Antes de las mediciones de Joule del equivalente mecánico del calor en la década de 1840, la cantidad de calor (medida en calorías) y la energía mecánica (medida en unidades derivadas) tenían dos dimensiones diferentes. Pero incluso hoy en día se puede desear mantenerlas en categorías separadas cuando se estudia un sistema en el que la energía mecánica y la térmica se conservan aproximadamente por separado, lo mismo ocurre con la energía de la masa de Einstein. Esto significa que los límites categóricos no están grabados en piedra, sino que pueden ser erigidos o eliminados tanto por conveniencia práctica como debido a un descubrimiento físico.

Muchas peculiaridades históricas en la elección y desarrollo de unidades y sistemas de unidades se describen en El libro de Klein La Ciencia de la Medición .

Answer 2

Siempre que pienso en este problema vuelvo a uno de los artículos de Joel Spolsky, " Hacer que el código incorrecto parezca incorrecto ", que habla de la notación húngara. No sólo el tipo inútil de notación húngara, donde las variables se nombran de una manera que describe sus tipos ( f_pos para un flotador, d_pos para un doble, etc.) - esto es "húngaro de sistemas" en el artículo - pero el tipo original y práctico, "húngaro de aplicaciones", donde el nombre de una variable refleja qué tipo de cantidad física representa. x_pos y y_pos para la posición horizontal y vertical, por ejemplo. O en un ejemplo que puede ser más relevante para su caso, circ_length y rad_length para la circunferencia y el radio, respectivamente.

En Apps Hungarian, si alguna vez te encuentras escribiendo circ_length + rad_length , sospecharías que algo va mal porque no deberías sumar la circunferencia y el radio. Aunque sean dimensionalmente consistentes, no son compatible en algún sentido. Querrías reescribirlo como algo así:

circ_length + circ_from_rad(rad_length)

Los sistemas de unidades son un equivalente físico (algo limitado) de los Apps húngaros. Usamos diferentes unidades para denotar diferentes variables que no son compatibles y no deben sumarse.

Al principio, esto puede parecer una perspectiva extraña de las unidades. Después de todo, es parece intuitivamente obvio que la longitud y el tiempo son diferentes de alguna manera que, por ejemplo, la altura y la anchura no lo son. Pero entonces llegó la relatividad, y aprendimos que la longitud y el tiempo en realidad son compatible, sólo hay que hacer la conversión correcta.

prime_t, prime_x = prime_from_normal(normal_t, normal_x)

o en otras palabras,

$$\begin{pmatrix}ct' \\ x'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\gamma & -\beta\gamma \\ -\beta\gamma & \gamma\end{pmatrix}\begin{pmatrix}ct \\ x\end{pmatrix}$$

Luego llegó la mecánica cuántica y aprendimos que la energía y la frecuencia son también algo parecido.

energy = energy_from_freq(frequency)

$$E = \hbar\omega$$

Y entonces llegó la gravedad cuántica y alguien inventó Unidades Planck y que va todo el camino hacia la madriguera del conejo hasta el punto en que todo es sólo un número, y puedes añadir libremente masas y cargas y fuerzas.

Aléjate de la gravedad cuántica.

De todos modos, si es tan fácil reducir el número de unidades distintas mostrando cómo se pueden convertir unas en otras, también se puede invertir el proceso. Tratarías los sistemas de unidades que tienen como versiones reducidas de sistemas más complicados que distinguen entre cantidades que normalmente consideramos iguales. La altura y la anchura, por ejemplo. Podría tener "altura-metro" y "anchura-metro" como unidades efectivamente separadas. O, en tu caso, "circunferencia-metro" y "radio-metro", en cuyo caso definirías $$1\ \mathrm{rad} = \frac{1\ \text{circumference-meter}}{1\ \text{radius-meter}}$$ En su sistema, esto es no va a ser lo mismo que $\frac{1\ \text{height-meter}}{1\ \text{width-meter}}$ . Usted puede hacer lo mismo convirtiendo todas estas unidades en metros, en cuyo caso se recuperaría el sistema métrico, pero entonces se perdería la información contextual extra que proporciona el sistema de unidades.

He aquí un ejemplo práctico: la pendiente $m$ se define como la altura sobre la longitud (horizontal), $\Delta y/\Delta x$ , lo que significa que las unidades de pendiente son $$[m] = \frac{\text{height-meter}}{\text{length-meter}}$$ Por otro lado, el ángulo $\alpha$ se define como la circunferencia sobre el radio, $$[\alpha] = \frac{\text{circumference-meter}}{\text{radius-meter}}$$ La relación entre ambos es $$m = \tan\alpha$$ por lo que en este sistema unitario aumentado, se sabe que la tangente toma en unidades de $\frac{\text{circumference-meter}}{\text{radius-meter}}$ y da un resultado en unidades de $\frac{\text{height-meter}}{\text{length-meter}}$ .

Sin embargo, hay un problema. ¿Qué pasa si estás haciendo un cálculo que implica las velocidades transversal y de recesión de una estrella? (Perpendicular y paralela a tu línea de visión, respectivamente.) En ese caso, sigues utilizando la función tangente, pero podrías obtener un resultado en unidades de $\frac{\text{length-meter}}{\text{height-meter}}$ . Estrictamente hablando, esto probablemente significa que deberías tener una función separada que produzca este tipo de salida. En la práctica, se puede llevar demasiado lejos. Darle a todo unidades separadas es a menudo más problemático de lo que vale.

Así que tendrás que encontrar un equilibrio entre los dos extremos. Mucha gente está de acuerdo en que tener ángulos designados por una unidad para preservar la información contextual que son ángulos (no otra cosa) es útil. Puedes utilizar esa información de forma significativa con funciones trigonométricas: una función como $\tan$ tiene que tomar como entrada un ángulo, o una relación "circular" de longitudes (circunferencia a radio o algo así), y dar como salida una relación "rectangular" de longitudes (altura a anchura o viceversa o algo así). El radián puede ser una unidad "falsa", claro, pero en cierto modo no es más falsa que una unidad de velocidad, o de momento angular, y es útil información a mantener.

Answer 3

He aquí una entretenida respuesta matemática. (O al menos, a mí me parece entretenida).

Tomemos en serio la idea de que podemos tratar los radianes como una unidad, y procedamos a partir de ahí. Esto significa que cuando escribimos una expresión como $\sin \theta$ el argumento $\theta$ debe tener unidades de radianes, mientras que el resultado (asumo) es sólo un número sin unidades. O para decirlo de otra manera, la expresión $\sin^{-1} x$ tiene unidades de radianes.

Ahora, como podemos escribir $\sin\theta$ como $\frac{i}{2}(e^{-i\theta}-e^{i\theta})$ , lo que significa que el argumento de $e^\theta$ también debe tener unidades de radianes. O, para decirlo de otra manera, cualquier expresión de la forma $\ln x$ tiene unidades de radianes, ya que el logaritmo es la inversa de la exponencial.

Sin embargo, aquí podemos meternos rápidamente en problemas, ya que la integral del logaritmo viene dada por $$ \int \ln x \,dx = x\ln x - x + C. $$ Suponiendo que $x$ es un número adimensional, el término $x\ln x$ tiene unidades de radianes, pero el $x$ es adimensional. Así que hemos llegado a una incoherencia del tipo que buscabas, donde una cantidad en radianes se suma a una cantidad adimensional, y ni siquiera tuvimos que incluir nada de física.

Esto no es necesariamente un problema irresoluble. benrg tiene una buena respuesta, en la que señala que se puede escribir la solución de la integral anterior como $x\ln(x/e) + C = x\ln x - x\ln e + C$ con el objetivo de que $\ln e$ es una constante con el valor 1 pero con unidades de radianes, por lo que las unidades de la expresión son radianes en general. Esto parece ser coherente y me gusta bastante.

Puede que merezca la pena reflexionar sobre todo esto alguna vez, en una tarde lluviosa en la que no haya nada más que hacer. Mi intención era mostrar que no es sencillo tratar los radianes como una unidad, incluso en el mundo de las matemáticas puras. benrg muestra que, sin embargo, podría ser posible hacerlo de forma coherente, lo que me parece interesante.

Answer 4

No se pueden añadir cantidades adimensionales a discreción por el simple hecho de que una cantidad adimensional concreta representa una cosa física concreta. Usando los ejemplos que has dado, no puedes añadir m/m a kg/kg porque representan cantidades diferentes; una es un ángulo y otra es un contenido de masa parcial.

Sin embargo, esto también puede aplicarse a las cantidades dimensionales. Por ejemplo, tenemos un camión que, al ser un objeto 3D, tiene una longitud, una altura y una anchura. Todas ellas se miden en unidades de longitud, como los metros, pero no representan el mismo valor. Si quisiera saber cuánto miden cinco camiones de punta a punta, no podría utilizar la anchura o la altura porque esos valores no son relevantes para lo que estoy midiendo o calculando, aunque sean el mismo tipo de unidad, es decir, de la misma dimensión.

Así que más que comprobar que la ecuación es dimensionalmente consistente o incluso unidad coherente, para que su biblioteca se asegure de que las manipulaciones dimensionales tienen realmente sentido tendría que saber qué representan realmente los valores y el factor que en.

Answer 5

Piénsalo así: ¿es docena ¿sin dimensiones?

radianes (1), grados (0,017), y gradians (0,0157) son todos como docena (12).

La convención dice que el grado es para los ángulos, y la docena para los huevos. Nadie va por ahí diciendo 562 grados m/s/s, igual que nadie dice 0,82 docenas m/s/s. Dicen 9,8 m/s/s. Pero podrían hacerlo. No hay ninguna razón matemática o física fundamental en juego, sólo una convención con fines de comunicación.

En otras palabras, sólo trata 90 grados como lo harías si te dieran 1,8 docenas .

1. Por un lado, es "sólo" una cantidad escalar. Si se multiplica una longitud por ella, se obtiene una longitud. Si multiplicas una masa por ella, obtienes una masa. (Para que no pienses lo contrario, la famosa relación circunferencia/radio puede aparecer en algunos lugares inesperados .)
2. Por otro lado, 3 docenas más 4 unidades no son 7 docenas; hay que contabilizar la diferencia en algún sitio.

La forma y el lugar exactos en que lo hagas dependen de ti. Sólo sepa que la diferencia no es de dimensión sino que magnitud .