En $X,Y$ son variables aleatorias iid, distribuidas uniformemente en $[0,1]$ entonces $Z=X*Y$ tiene la densidad $-\log(z)$ como se muestra aquí:
distribución del producto de dos distribución uniforme, ¿qué pasa con 3 o más
La cuestión es: ¿Para qué densidad de $X,Y$ es el producto $Z$ distribuidos uniformemente en $[0,1]$ ?
Sea $W_1,W_2$ sean variables aleatorias Gamma independientes con $\alpha=1/2$ y $\beta=1$ . Entonces $e^{-W_1}\,e^{-W_2}=e^{-(W_1+W_2)}$ donde $W_1+W_2$ es exponencial con media 1. Un argumento de transformación fácil muestra que $e^{-(W_1+W_2)}$ tiene una distribución uniforme(0,1).
$e^{-W_1}$ y $e^{-W_2}$ son variables aleatorias i.i.d. cuyo producto es uniforme(0,1).
¿Qué tipo de densidad $e^{-W}$ ¿Tener? La densidad de $W$ es $f(w)={1\over\sqrt{\pi w}}\, e^{-w}\, {\bf 1}_{(0,\infty)}(w).$ Configuración $X=e^{-W}$ tenemos $|dw/dx|= 1/x$ de modo que la densidad de $X$ es $$g(x)= {1\over\sqrt{\pi \log(1/x)}} e^{-(-\log(x))} (1/x) {\bf 1}_{(0,\infty)}(-\log(x)) = {1\over\sqrt{\pi \,\log(1/x)}}\, {\bf 1}_{(0,1)}(x).$$
He aquí un gráfico de esta función:
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