Lebesgue puntos de densidad y nociones similares

Question

Deje $F\subset \mathbb{R}^d$ $\delta(x)=d(x,F)=\inf\{|x-y|:y\in F\}$ ser la distancia de$x$$F$. Es fácil mostrar que $\delta(x+y)\leq |y|$ todos los $x\in F$. Demostrar el más refinado de la estimación: $$\lim_{|y|\rightarrow0}\frac{\delta(x+y)}{|y|}=0,\text{ for a.e. }x\in F .$$

Notas Una sugerencia que se da es que dice que "Asuma $x$ es un punto de densidad de $F$ y el uso de la conclusión: Si $E$ es un subconjunto medible de $\mathbb{R}^d$, en casi todos los $x\in E$ es un punto de densidad de $E$, y casi todos los $x\in E^c$ no es un punto de densidad de $E$.

He demostrado que el resultado anterior (en notas) mediante el Lebesgue diferencial teorema en una pregunta anterior. Pero estoy teniendo dificultades para relacionarse con el límite en la pregunta que en la definición de un punto de Lebesgue de densidad, aunque parecen muy similares. Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias!

Answer 1

Creo que sólo tenemos que asumir que casi todos los $x \in E$ es un punto de Lebesgue de la densidad de $E,$ que no requiere que el $E$ es Lebesgue medible conjunto. [En efecto, si asumimos que el $E$ es Lebesgue medible, entonces podemos concluir mucho más de lo que usted dijo, es decir, que en casi todos los $x \in E^c$ el Lebesgue densidad de $E$ $x$ es igual a $0$ (en lugar de "está a menos de $1$"). Pero no veo que necesitamos saber nada acerca de la Lebesgue densidad de $E$ en puntos que no están en $E.$]

El resultado que usted desea de la siguiente manera a partir de los siguientes resultados más exactos.

Teorema: Vamos a $E \subseteq {\mathbb R}^N$, $x \in {\mathbb R}^N$, y se supone que $x$ es un punto de Lebesgue de la densidad de $E.$ Luego $$\lim_{|y| \rightarrow 0}\frac{\delta(x+y)}{|y|} = 0$$ Prueba: Si no, a continuación, $\;\limsup_{|y| \rightarrow 0}\frac{\delta(x+y)}{|y|} > 0,\;$ a partir de la cual se desprende que no existe $\epsilon > 0$ y una secuencia $\{y_n\}$ $y_n \rightarrow x$ tal que para cada una de las $n$ tenemos $\delta(x+y_n) \geq \epsilon |y_n|.$ La idea clave es la de aviso de que esta última desigualdad nos dice que hay una secuencia de arbitrariamente pequeñas bolas centradas en $x,$ cada uno de los cuales contiene un "suficientemente grande" subball tener vacía la intersección con $E,$ donde "lo suficientemente grande" es lo suficientemente grande para que contradice la suposición de que la densidad de Lebesgue de $E$ $x$ es igual a $1.$ Específicamente, las bolas centradas en $x$ tienen radios $|y_n| + \epsilon |y_n|$ y la correspondiente subballs se centran en $x+y_n$ y tienen radios $\epsilon |y_n|.$ tenga en cuenta que la proporción de cada subball radio a la correspondiente bola de radio es ${\epsilon}/({1 + \epsilon}),$ y para que la proporción del volumen de cada subball para el correspondiente volumen de la bola es $\left(\frac{\epsilon}{1 + \epsilon}\right)^N.$ Debido a que esta relación de volúmenes es una constante positiva (que sólo depende de $F,$ $x,$ y $N),$ y no hay puntos de $E$ pertenecen a alguna de las subballs, no podemos tener la Lebesgue densidad de $E$ $x$ igual a $1,$ lo que da una contradicción.

Para Resumir: a partir De la asunción", el Lebesgue densidad de $E$ $x$ es igual a $1,$" de ello se deduce que, a medida que disminuya a $x$ utilizar las bolas centradas en $x,$ la proporción de las medidas de $E^c$ se cruzan las bolas a las medidas de las bolas deben acercarse a $0$ (debido a que los ratios de las medidas de $E$ se cruzan las bolas a las medidas de las bolas deben acercarse a $1$). Sin embargo, $\delta(x+y_n) \geq \epsilon |y_n|$ nos ofrece una secuencia de bolas de reducción hacia abajo a $x$ en los que las proporciones de las medidas de $E^c$ se cruzan las bolas a las medidas de las bolas está delimitado por encima de $0.$ [Nota de que la medida de $E^c$ se cruzan cualquiera de las bolas es mayor que o igual a la medida de la correspondiente subball.]

(AÑADIDO el DÍA SIGUIENTE) Algo que pasé por alto: Si no asumimos que $E$ es Lebesgue medible entonces, en varios lugares de arriba, "medida" y "densidad" necesitan ser reemplazados con "el exterior de la medida" y "exterior de la densidad".

Answer 2

Deje $x\in F$ s.t. $x$ es un punto de (Lebesgue) densidad. En otras palabras, tenemos: $$\lim_{m(B)\to 0,x\in B}\frac{m(B\cap F)}{m(B)}=1.$$ En particular, se puede considerar que la colección de bolas $\left\{B_{2|y|}(x)\right\}_{|y|>0}$, y luego tenemos a $$\lim_{|y|\to 0}\frac{m(B_{2|y|}(x)\cap F)}{m(B_{2|y|}(x))}=1. $$ Por definición de la función de distancia $\delta(z)$, para cualquier $z\in \mathbb{R}^d$ tenemos que $B_{\delta(z)}(z)\cap F=\emptyset$. Esto nos da:

$$\frac{m(B_{2|y|}(x)\cap F)}{m(B_{2|y|}(x))}=\frac{m(B_{2|y|}(x)\cap F)-m(B_{\delta(x+y)}(x+y)\cap F)}{m(B_{2|y|}(x))} \enspace (*)$$ Tenga en cuenta que para todos los $z\in B_{\delta(x+y)}(x+y)$, $|x-z|=|x+y-y-z|\leq |(x+y)-z|+|y|<\delta(x+y)+|y|\leq 2|y|$. Por lo tanto, $B_{\delta(x+y)}(x+y)\subset B_{2|y|}(x)$. Con esto en mente podemos reescribir $(*)$ y enlazado: \begin{align*} (*)=\frac{m\left((B_{2|y|}(x)\setminus B_{\delta(x+y)}(x+y))\cap F\right)}{ m\left( B_{2|y|}(x)\right)} &\leq \frac{m\left((B_{2|y|}(x)\setminus B_{\delta(x+y)}(x+y))\right)}{ m\left( B_{2|y|}(x)\right)}\\ &=\frac{|B_{2|y|}(x)|}{|B_{2|y|}(x)|}-\frac{|B_{\delta(x+y)}(x+y)|}{|B_{2|y|}(x)|}\\ &=1-\frac{\delta(x+y)^d v_d}{2^d|y|^d v_d}. \end{align*} donde $v_d=|B_1(0)|$. Tomando el límite de ambos lados como $|y|\to 0$ da el resultado deseado para $x$, y desde casi todos los puntos de $F$ es un punto de Lebesgue de la densidad, la declaración está probada.