La prueba de que un operador lineal es continua.

Question

Podría alguien por favor, compruebe la siguiente prueba, he intentado? Parece demasiado simple, por lo que estoy preocupado de que he hecho algo mal.. Muchas gracias

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Deje $T:(X,\|.\|_X)\to (Y,\|.\|_Y)$ ser lineal en el mapa entre espacios de Banach y deje $c>0$ ser una constante tal que para algunos $f:[0,\infty)\to [0,\infty)$

$$\|Tx\|_Y\leq cf(\|x\|_X),$$ donde $f$ $c$ son independientes de $x\in X$. A continuación, $T$ es continua.

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Prueba.

Observar $$\sup_{x\in X, \|x\|_X=1}\|T(x)\|_Y\leq cf(1)<+\infty$$ therefore $T$ es limitado y por lo tanto continua.

Answer 1

Sí, el argumento está muy bien. La hipótesis es un poco raro, como el papel de la $f$ es, como se mostró, se limita a su valor en $1$. Y también, si $f(t)=0$ por $t$, lo que obligaría a $T=0$.