Por qué en la distribución binomial la fórmula empieza por $n\choose k$ y no con algo como $k!\over n!$ ? ¿No es importante el orden? O, ¿es importante pero debido a la independencia del evento?
Respuestas
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De la página correspondiente de Wikipedia:
La distribución binomial se utiliza frecuentemente para modelar el número de aciertos en una muestra de tamaño $n$ extraído con reemplazo de una población de tamaño $N$ .
Tengan en cuenta dos cosas:
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La clave es la número de éxitos. Así que si con cuatro intentos tienes $(S,F,F,S)$ o $(F,S,F,S)$ es irrelevante, en ambos casos tienes dos éxitos.
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Dado que se sortea con reemplazo, cada intento es independiente de lo que ocurrió antes. Así, $(S,F,F,S)$ y $(F,S,F,S)$ ciertamente tienen la misma probabilidad.
Y, $\binom{n}{k}$ es el número de formas en que se puede tener $k$ éxitos entre $n$ intentos.
Si no se extrae con reemplazo, sino sin reemplazo, entonces el segundo punto ya no es cierto y se obtiene una distribución diferente, llamada distribución hipergeométrica .
James Pak
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$$\frac{n!}{n_1!n_2!},\;\; n_1+ n_2=n,$$
cuenta las permutaciones de la secuencia $$\underbrace{p_1...p_1}_{n_1}\underbrace{p_2...p_2}_{n_2}.$$
Casualmente, $$\frac{n!}{n_1!n_2!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}={n \choose k}, \;\; n_1=k=\text{number of successes}.$$
Por lo tanto, ${n \choose k}$ disfrazado de contar combinaciones, en realidad cuenta permutaciones.
