Estoy buscando una ecuación para la potencia media de una señal
$$ p_{avg} = \frac{1}{R} v_{rms}^2 $$
y se pregunta por qué no es
$$ p_{avg} = \frac{1}{R} |v|_{avg}^2 $$
Simple: la media de un seno es cero.
La potencia es proporcional a la tensión al cuadrado:
\$ P = \dfrac{V^2}{R} \$
así que para obtener la potencia media se calcula la tensión media al cuadrado. A eso se refiere el RMS: Root Mean Square: tomar la raíz cuadrada de la media (promedio) de la tensión al cuadrado. Tienes que tomar la raíz cuadrada para volver a obtener la dimensión de una tensión, ya que primero la elevaste al cuadrado.
Este gráfico muestra la diferencia entre ambos. La curva púrpura es el seno al cuadrado, la línea amarillenta el valor absoluto. El valor RMS es \$\sqrt{2}/2\$ o aproximadamente 0,71, el valor medio es \$2/\pi\$ o aproximadamente 0,64, una diferencia del 10 %.
El RMS te da la tensión DC equivalente para la misma potencia. Si midieras la temperatura de la resistencia como medida de la energía disipada verás que es la misma que para una tensión continua de 0,71 V, no de 0,64 V.
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Sin embargo, medir la tensión media es más barato que medir la tensión RMS, y eso es lo que hacen los DMM más baratos. Suponen que la señal es una onda sinusoidal, miden la media rectificada y multiplican el resultado por 1,11 (0,71/0,64) para obtener el valor RMS. Pero el factor 1,11 sólo es válido para las ondas sinusoidales. Para otras señales, la relación será diferente. Esa relación tiene un nombre: se llama el factor de forma . Para una señal PWM de ciclo de trabajo del 10 %, el factor de forma será \$1/\sqrt{10}\$ o alrededor de 0,316. Eso es un montón menos que el seno de 1,11. Los DMM que no son "True RMS" darán grande errores para formas de onda no sinusoidales.
Respecto a tu primer punto, he editado mi segunda ecuación para utilizar el valor absoluto medio, que es lo que quería decir. Lo que no veo es por qué importa el orden de las dos operaciones (promedio y cuadrado). Tensión media al cuadrado, frente a tensión media al cuadrado.
Debido a la relación de ley cuadrada, la media de la potencia y la media de la tensión son dos cosas muy diferentes.
@RobN, el instantánea el poder es \$p(t) = v^2(t)/R \$ . La potencia media es la media temporal de \$p(t)\$ . Así, la potencia media es proporcional a la media temporal de la tensión al cuadrado. Además, el orden importa porque la media de los cuadrados no es igual al cuadrado de la media.
Ahora hablando en términos de ecuaciones:
\$ P_{avg}= avg(P_{inst}) \$
Ahora \$P_{inst} = v(t) \cdot i(t)\$ donde \$v(t)\$ y \$i(t)\$ son la tensión y la corriente instantáneas respectivamente. Por lo tanto
\$ P_{inst} = \dfrac{(v(t))^2}{R} \$
\$ P_{avg} = avg \left(\dfrac{((v(t))^2}{R} \right) \$
\$ P_{avg} = \dfrac{(\sqrt{avg(v(t)^2)})^2}{R} \$
\$ P_{avg}= \dfrac{V_{rms}^2}{R} \$
Como RMS = \$\sqrt{\text{average of squares of inst.}}\$
El porqué es sencillo.
Quieres 1 W = 1 W.
Imagina un calentador primitivo, una resistencia de 1 ohmio.
Considere 1 VDC en una resistencia de 1 ohmio. El consumo de energía es obviamente de 1 W. Si lo haces durante una hora, quemarás un vatio-hora, generando calor.
Ahora, en lugar de corriente continua, quieres alimentar la resistencia con corriente alterna y producir el mismo calor. ¿Qué tensión de CA utilizas?
Resulta que el voltaje RMS te da el resultado que quieres.
Por eso el RMS se define así, para que los números de potencia salgan bien.
La respuesta es la razón dada por John R. Strohm y la explicación es la siguiente: (requiere algunas adiciones a la respuesta de stevenvh)
Cuando se envía una onda de CC a través de una resistencia y una onda de CA a través de una resistencia, la resistencia se calienta en ambos casos, pero según la ecuación del valor medio, el efecto de calentamiento para la CA debería ser 0, pero no es así. Esto es porque cuando los electrones se mueven en un conductor golpean los átomos y esta energía impartida a los átomos se siente consecuentemente como calor, ahora la CA hace lo mismo sólo que los electrones se mueven en diferentes direcciones pero la transferencia de energía aquí es independiente de la dirección y por lo tanto el conductor se calienta igualmente.
Cuando encontramos el valor medio, los componentes de CA se anulan y por lo tanto no explican por qué se genera el calor, pero la ecuación RMS rectifica eso - como dice stevenvh al tomar el cuadrado y luego la raíz cuadrada estamos transponiendo la parte negativa a la parte superior del eje de tal manera que las porciones positivas y negativas no se cancelan.
Por eso decimos que el valor medio y el valor eficaz de una onda de CC es el mismo.
Lo mismo se aplica a cualquier señal del mundo real (me refiero a la imperfecta, no a la CA pura) ya que la serie de Fourier dice que cualquier onda puede ser sustituida por una combinación correcta de ondas sinusoidales y cosenoidales, y como las frecuencias de las ondas son más altas (múltiplos enteros de la frecuencia base) también se anulan, aislando la componente de CC.
Por ello, definimos el valor RMS como el valor equivalente de CC que genera la misma cantidad de calor que la onda de CA.
Espero que esto ayude.
P.D.: Sé que la explicación de cómo se genera el calor es bastante ambigua, pero no encuentro otra mejor, de todos modos la utilicé porque ayuda a transmitir el mensaje.
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Porque el cuadrado de la media no siempre es la media de los cuadrados, ni siquiera para los números positivos. Si el promedio de 0 y 10 es 5, se eleva al cuadrado para obtener 25. Pero la media de sus cuadrados (0 y 100) es 50. Ni siquiera se acerca. ¿Por qué el cuadrado en primer lugar? La potencia es tensión * corriente, pero la corriente es proporcional a la tensión, por lo que la potencia es proporcional a la tensión al cuadrado.
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La primera ecuación no es una definición matemática ni una ley física; se puede demostrar. Mira cómo se deriva y tu pregunta será respondida.