Encontrar $(M,\partial M)$ % inyectiva $H_k(\partial M)\rightarrow H_k(M)$.

Question

Estoy buscando una compacta $2k+1$-dimensiones del colector de $M$ ($k\ge1$) con límite de $\partial M$, de tal manera que

a) $H_k(\partial M;\mathbb{Q}) \neq 0$,

b) $\iota_*\colon H_k(\partial M;\mathbb{Q})\rightarrow H_k( M;\mathbb{Q})$ es inyectiva. (Donde $\iota\colon \partial M\hookrightarrow M$ es la inclusión).

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Estoy principalmente interesado en ver si el colector como la que existe, por lo que un ejemplo concreto sería lo suficientemente bueno. Hasta ahora he considerado que:

• $\partial M$ una superficie cerrada de género $g$, incrustado en $\mathbb{R}^3$ en la forma habitual, de manera tal que los límites de un compacto $3$-colector $M$. Para $g=0$, condición a) no es satisfecha y $g>0$ a la condición b) se produce un error debido a que $\dim H_1(M;\mathbb{Q})=g$$\dim H_1(\partial M;\mathbb{Q})=2g$.

• $M=X\times Y$ donde $X$ es cerrado e incluso (resp. impar) dimensiones y $Y$ tiene un límite de $\partial Y$ y es impar (resp. incluso) dimensiones. Mirando el Künneth teorema parece inyectividad de $H_i(\partial Y;\mathbb{Q})\rightarrow H_i( Y;\mathbb{Q})$ se requiere en todos los grados $i$, por lo que el problema se vuelve aún más difícil (?). Con el fin de encontrar un bajo dimensional ejemplo he considerado la posibilidad de $Y$ a ser un almacén de planos de dominio, pero, de nuevo, de nuevo b) falla de la dimensión razones.

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Preguntas:

• ¿Cómo puedo abordar este problema y encontrar un ejemplo de un $M$?

• Hay formas extrañas de una superficie puede atado $3$-colector diferentes de los arriba mencionados?

• Hay una tabla de colectores con el límite y su homología que puedo considerar?

Answer 1

Para las tres dimensiones de los colectores no hay ejemplos. Aquí asumo $M$ es orientable y $\partial M$ está conectado. Luego busca en la larga secuencia exacta de la pareja, obtenemos $$0\to H_2(M)\to H_2(M,\partial M)\to H_1(\partial M)\to H_1(M)\to H_1(M,\partial M)\to 0$$ Deje $a$ ser el rango de $H_2(M)$ $b$ el rango de $H_2(M,\partial M)$. Entonces por Poincaré-Lefschetz dualidad, $b$ es el rango de $H_1(M)$ $a$ es el rango de $H_1(M,\partial M)$. Deje $c$ ser el rango de $H_1(\partial M)$. A continuación, ya que la secuencia es exacta, la característica de Euler es $0$, lo $c=2b-2a$. Ahora si $H_1(\partial M)\to H_1(M)$ fueron inyectiva, entonces $H_1(M)\cong H_1(M,\partial M)$ por la secuencia de arriba, lo que implica la $b=a$. Pero, a continuación,$c=0$. Creo que se puede generalizar esto a dimensiones superiores, pero me estoy quedando corto de tiempo.

Answer 2

Alegres Chirivías argumento generaliza a dimensiones superiores: asumir de Nuevo que $M$ es orientable y $\partial M$ está conectado. Denotar $a_i=\mathrm{rank}(H_i(\partial M))$, $b_i=\mathrm{rank}(H_i( M))$, $c_i=\mathrm{rank}(H_i(M,\partial M))$, a continuación, por la dualidad de Poincaré para $\partial M$ tenemos $a_i=a_{n-1-i}$ y por Poincaré-Lefschetz dualidad $(M,\partial M)$ tenemos $b_{n-i}=c_{i}$.

Suponiendo que $H_k(\partial M)\rightarrow H_k(M)$ es inyectiva, el largo de la secuencia exacta para el par $(M,\partial M)$ rompe en dos pedazos y los rendimientos $$ 0=\sum_{i=0}^k (-1)^ i a_i - \sum_{i=0}^k (-1)^ i b_i + \sum_{i=0}^k (-1)^ i c_i $$ y $$ 0=\sum_{i=k+1}^{n-1} (-1)^ i a_i - \sum_{i=k+1}^n (-1)^ i b_i + \sum_{i=k+1}^n (-1)^ i c_i. $$ Los índices de cambio en la segunda ecuación y el uso de la dualidad de los resultados a obtener $$ 0=\sum_{i=0}^{k-1} (-1)^ i a_i + \sum_{i=0}^k (-1)^ i c_i - \sum_{i=0}^k (-1)^ i b_i, $$ donde el signo de los cambios son debido al hecho de que $n$ es impar y $n-1$ es incluso. Restar de la primera ecuación, entonces $$ a_k=0 $$ de la siguiente manera.

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EDIT: En los comentarios se decía que $d:=\mathrm{rank}\left(\ker(H_k(\partial M)\rightarrow H_k(M)\right)=\frac{1}{2}\mathrm{rank}H_k(\partial M)$, esto sigue también por la larga secuencia exacta para $(M,\partial M)$ y escupir en:

$$\dots \rightarrow H_{k+1}(M,\partial M) \rightarrow\ker(H_k(\partial M)\rightarrow H_k(M)) \rightarrow 0 $$ y $$ 0\rightarrow \ker(H_k(\partial M)\rightarrow H_k(M)) \hookrightarrow H_k(\partial M)\rightarrow H_k(M) \rightarrow \dots $$ y, a continuación, haciendo esencialmente los mismos cálculos anteriores para obtener el $a_k-2d=0$.