Los polinomios de Hermite se puede definir como (de wikipedia):
$$ H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2/2}. $$ Estoy tratando de mostrar que: $e^{\alpha x-\frac{1}{2} \alpha^2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}H_n(x)\alpha^n$, donde $\alpha \in \mathbb{R}$. $\quad (1)$
Mi primer intento de hacer esto es escribir usando una exponencial infinita suma truco:
$$ e^{\alpha x - \frac{\alpha^2}{2}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\alpha x - \frac{\alpha^2}{2})^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \alpha^n \frac{( x - \frac{\alpha}{2})^n}{n!} $$
Ahora, la comparación de términos, parece ser obvio a partir de $(1)$ por encima de ese $H_n(x) = ( x - \frac{\alpha}{2})^n$. Sin embargo, en ninguna parte de la fórmula para los polinomios de Hermite arriba, $H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2/2}$, żcontiene $\alpha$. Mi pregunta es, ¿cómo puedo ir de$( x - \frac{\alpha}{2})^n$$(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2/2}$? Gracias.