¿Coeficiente de coincidencia de la prueba que $e^{\alpha x-\frac{1}{2} \alpha^2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}H_n(x)\alpha^n$, donde $H_n(x)$ son poli Hermite.?

Question

Los polinomios de Hermite se puede definir como (de wikipedia):

$$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2/2}.$$ Estoy tratando de mostrar que: $e^{\alpha x-\frac{1}{2} \alpha^2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}H_n(x)\alpha^n$, donde $\alpha \in \mathbb{R}$. $\quad (1)$

Mi primer intento de hacer esto es escribir usando una exponencial infinita suma truco:

$$e^{\alpha x - \frac{\alpha^2}{2}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\alpha x - \frac{\alpha^2}{2})^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \alpha^n \frac{( x - \frac{\alpha}{2})^n}{n!}$$

Ahora, la comparación de términos, parece ser obvio a partir de $(1)$ por encima de ese $H_n(x) = ( x - \frac{\alpha}{2})^n$. Sin embargo, en ninguna parte de la fórmula para los polinomios de Hermite arriba, $H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2/2}$, żcontiene $\alpha$. Mi pregunta es, ¿cómo puedo ir de$( x - \frac{\alpha}{2})^n$$(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2/2}$? Gracias.

Answer 1

Para acreditar la identidad deseada, es suficiente para mostrar que para cada uno fijo $x$, $$ Hn(x)=\frac{d^n}{d\alpha^n}e^{\alpha x-\frac{1}{2}\alpha^2}\Big|{\alpha=0}

Por completando el cuadrado, podemos escribir $$e^{\alpha x-\frac{1}{2}\alpha^2}=e^{\frac{x^2}{2}}e^{-\frac{(x-\alpha)^2}{2}}$ $ y por lo tanto$$ \frac{d^n}{d\alpha^n}e^{\alpha x-\frac{1}{2}\alpha^2}\Big|{\alpha=0}=e^{\frac{x^2}{2}}\frac{d^n}{d\alpha^n}e^{-\frac{(x-\alpha)^2}{2}}\Big|{\alpha=0}=e^{\frac{x^2}{2}}(-1)^n\frac{d^n}{dx^n}e^{-\frac{x^2}{2}}=H_n(x)