La raíz cúbica de$4$ es irracional

Question

Me gustaría ver si esta prueba no es correcta. Yo realmente lo aprecio.

Supongamos que ${4}^{\frac{1}{3}}$ es racional. Entonces existe $a,b \in \mathbb{Z}$ such that $\mathrm{mcd}(a,b) = 1$ with $\frac{a}{b} = 4^{\frac{1}{3}}$.

A continuación,$a^3 = 4b^3$. (Así que desde aquí quiero mostrar que $a,b$ son de hecho no coprime).

Desde de la asunción, $a,b$ son coprime, a continuación,$a^3 | 4$. Esto implica $a$ es incluso (creo?!).

Por lo $a = 2k$ algunos $k\in \mathbb{Z}$.

Por lo tanto, $4b^3 = 8k^3 \implies b^3 \stackrel{(\star)}{=} 2k^3.$ Desde $b > \nmid un$ then $b\nmid 2k$ so $b \nmid 2$ and $b\nmid k$ por Euclides de la Lema. Pero si esto es cierto, entonces $b^3 \nmid 2$$b^3 \nmid k^3$. Por lo $b^3 \neq 2k^3$, lo que contradice $(\star)$.

Esto se siente extraño, porque siento que debo contradecir a uno de mis hipótesis, algo que no he encontrado a lo largo del camino...

Answer 1

En la prueba de $a$ podría ser $1$.

Si $a=1$ $b$ debe ser un prositive entero porque $\sqrt[3]{4}$ es un número positivo,yo.e $b \in \mathbb{N}$

Así que se puede decir que si $a=1$, desde el hecho de que $b \in \mathbb{N}$ tenemos que $1=b \sqrt[3]{4}>1$ lo cual es una contradicción.

Ahora usted puede probar su afirmación de esta manera más simple si usted desea:

$2$ es un número primo, por tanto, si $2|a^k$ para algún entero positivo $k>1$ $2|a$

Tenemos que $4|a^3$ $2|a^3 \Rightarrow 2|a \Rightarrow a=2k$

De esto podemos ver que $$4b^3=8k^3 \Rightarrow b^3=4k^3 \Rightarrow 2|b^3 \Rightarrow 2|b$$

Así tenemos : $$2|a$$ $$2|b$$

Así que de esto se contradice nuestra suposición acerca de la $(a,b)=1$

y la prueba está terminado.

Answer 2

proof-verification:

Supongamos que ${4}^{\frac{1}{3}}$ es racional. Entonces existe $a,b \in \mathbb{Z}$ tal que $\mathrm{gcd}(a,b) = 1$$\frac{a}{b} = 4^{\frac{1}{3}}$.

A continuación,$a^3 = 4b^3$. (Así que desde aquí quiero mostrar que $a,b$ son, de hecho, no coprime (so that I would have a contradiction)).

Ya que desde the asunción, $a,b$ son coprime, a continuación,$a^3 | 4$. (Why? Maybe you want to conclude that $4|a^3$?) Esto implica $a$ es incluso (creo?!). (Why? This step is unclear.)

Por lo $a = 2k$ algunos $k\in \mathbb{Z}$. (Assuming you have shown $a$ is even, I keep reading.)

Por lo tanto, $4b^3 = 8k^3 \implies b^3 \stackrel{(\star)}{=} 2k^3.$ Desde $b \nmid a$ entonces, i.e. $b\nmid 2k$, lo $b \nmid 2$ $b\nmid k$ por Euclides del Lexema. (Euclid's lemma says: "If a prime p divides the product ab of two integers a and b, p must divide at least one of those integers a and b." I don't see how it is used here. It seems that you use it in a wrong way. Your argument breaks down and I would stop reading from here.)

Answer 3

No está claro cómo$a^3\mid 4$, cómo$a$ es parejo, ni cómo$b^3\neq 2k^3$; además:$a^3\mid 4$ podría implicar$a^3=1$ a priori : tendría que argumentar que$a\neq 1$ aproximando$4^\frac13$.

Dado que$a^3=4b^3$, tenemos$4\mid a^3$, lo que implica que$a$ es incluso como$2$ es primo.

Si deduce alguna contradicción de la hipótesis de que$4^{\frac13}$ es racional, significa que es de hecho irracional. No hay nada raro en eso.

Answer 4

Usted puede hacer que sea más fuerte y más rápido.

Pero primero debemos ser claros:

Lema: Si $a$ $b$ son coprime, a continuación,$a|kb \implies a|k$.

Lema 2: Si $a$ $b$ son coprime, a continuación,$a^m|kb^n \implies a^m|k$.

Estos lemas son aceptables si asumimos que cada número tiene una factorización prima.

Por lo $a^3 = 4b^3$ implicaría $a^3|4$.

Pero que es una MUY fuerte declaración!

$a^3 = 4b^3 \implies 1 = \frac {4}{a^3}b^3$ pero $1$ es unitario, por lo $\frac 4{a^3} =1$$a^3 = 4$. Así que la raíz cúbica de a $4$ debe ser un entero si es racional!

Bien. $a \le 0\implies a^3 \le 0 < 4$. Y $1^3 = 1 \ne 4$. Y si $a \ge 2$$a^3 \ge 2*a^2 \ge 2*2*a \ge 2*2*2 = 8 > 4$.

.... o ... si podemos asumir que cada entero tiene una única factorización prima. (Cany usted en su clase y en estas etapas?) a continuación, $a^3 = \prod p_i^{3a_i} = 2^2$ es .... imposible.