Diferencia de los cuadrados inversos

Question

Dado que el número positivo $a$ es la diferencia de los cuadrados inversos:

$$a = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}, m, n \in \mathbb{N},$$

¿bien podría ser que el $pa$ también es una diferencia de cuadrados inversos, cuando p - algunos número natural?

Answer 1

Sí
$1/(5*5)-1/(7*7)=24/(25*49)$
$1/(5*5)-1/(35*35)=48/(25*49)$ entonces tenemos $2*((1/5)^2-(1/7)^2)=(1/5)^2-(1/35)^2$
Pero es muy interesante ver la fórmula (he hecho un programa para obtener esta respuesta)

Answer 2

Si

$$a = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2},$$

donde $m, n \in \mathbb{N}$ $\mathbb{N}$ es el conjunto de los números naturales, entonces

$$2a = \frac{2}{n^2} - \frac{2}{m^2}.$$

El OP está pidiendo soluciones a la ecuación de Diophantine

$$2a = \frac{2}{n^2} - \frac{2}{m^2} = \frac{1}{r^2} - \frac{1}{s^2},$$

donde $r, s \in \mathbb{N}$.

Esto se reduce a

$$2{r^2}{s^2}(m + n)(m - n) = {m^2}{n^2}(r + s)(r - s).$$

En consecuencia, tenemos:

$$2{r^2}{s^2} \mid {m^2}{n^2}(r + s)(r - s).$$

Asumiendo $\gcd(r, s) = 1$, entonces tenemos:

(1) $2 \mid m$, o

(2) $2 \mid n$, o

(3) $2{r^2}{s^2} \mid {m^2}{n^2}$, o

(4) $2 \mid (r + s)(r - s)$.

Tal vez esto podría arrojar algo de luz en Antony's respuesta.

Actualización - Antony dio las siguientes soluciones:

$$n \hspace{0.1in} m \hspace{0.1in} r \hspace{0.1in} s$$ $$5 \hspace{0.1in} 7 \hspace{0.1in} 5 \hspace{0.1in} 35$$ $$5 \hspace{0.1in} 10 \hspace{0.1in} 4 \hspace{0.1in} 20$$ $$6 \hspace{0.1in} 10 \hspace{0.1in} 5 \hspace{0.1in} 15$$ $$9 \hspace{0.1in} 11 \hspace{0.1in} 11 \hspace{0.1in} 99$$ $$10 \hspace{0.1in} 14 \hspace{0.1in} 10 \hspace{0.1in} 70$$ $$5 \hspace{0.1in} 15 \hspace{0.1in} 3 \hspace{0.1in} 5$$

Observe que todas las soluciones conocidas (hasta ahora) cumplir:

(4) $2 \mid (r + s)(r - s)$.

Answer 3

$2a=1/(n/\sqrt{2})^2-1/(m/\sqrt{2})^2$, pero$(n/\sqrt{2}) ,(m/\sqrt{2})$ no será natural