integración del contorno: $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x + x \sin x}{1+x^2} dx$

Question

Estoy haciendo un estudio en el aprendizaje integración de contorno en análisis complejo y aquí hay un ejemplo que encontré:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x + x \sin x}{1+x^2} dx$$

¿Cómo esto se relaciona la integral siguiente sobre un semicírculo en el plano medio superior ($0\leq t \leq \pi$)?

$$\int_{R e^{it}} \frac{e^{iz}}{z-i} dz$$

(Esto vino de un toque en nuestras notas)

Answer 1

Tenga en cuenta que $$f(z) = \frac{e^{i}}{z-i} = \frac{(z+i)e^{i}}{(z+i)(z-i)} = \frac{(z+i)e^{i}}{z^2+1}.$$

Por lo tanto, si $z=x$ es real, entonces $$f(x) = \frac{(x+i)(\cos x + i \sin x)}{x^2+1} = \frac{x\cos x - \sin x + i(\cos x + x\sin x)}{x^2+1}.$$

Deje $\Gamma$ ser la curva cerrada que consiste en el intervalo de $[-R,R]$ junto con el semi-círculo $C : z=Re^{it}$, $0 < t < \pi$ (para $R > 1$). Por el teorema de los residuos,

$$\int_{\Gamma} f(z)\,dz = \int_{[-R,R]} f(z)\,dz + \int_C f(z)\,dz = 2\pi i \operatorname{Res}(f;z=i)$$

(desde $z=i$ es la única singularidad de $f$ dentro $\Gamma$). Por último, vamos a $R\to\infty$.

La integral sobre la $C$ tienden a $0$ por Jordania lema, y usted va a terminar con

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{x\cos x - \sin x}{x^2+1}\,dx + i \int_{-\infty}^\infty \frac{x\sin x + \cos x}{x^2+1}\,dx = 2\pi i \operatorname{Res}(f;z=i).$$

Para rematar, calcular el residuo y mirar la parte imaginaria de la igualdad anterior.