Tenga en cuenta que
$$
f(z) = \frac{e^{i}}{z-i} = \frac{(z+i)e^{i}}{(z+i)(z-i)} = \frac{(z+i)e^{i}}{z^2+1}.
$$
Por lo tanto, si $z=x$ es real, entonces
$$
f(x) = \frac{(x+i)(\cos x + i \sin x)}{x^2+1} = \frac{x\cos x - \sin x + i(\cos x + x\sin x)}{x^2+1}.
$$
Deje $\Gamma$ ser la curva cerrada que consiste en el intervalo de $[-R,R]$ junto con el semi-círculo $C : z=Re^{it}$, $0 < t < \pi$ (para $R > 1$). Por el teorema de los residuos,
$$
\int_{\Gamma} f(z)\,dz = \int_{[-R,R]} f(z)\,dz + \int_C f(z)\,dz = 2\pi i \operatorname{Res}(f;z=i)
$$
(desde $z=i$ es la única singularidad de $f$ dentro $\Gamma$). Por último, vamos a $R\to\infty$.
La integral sobre la $C$ tienden a $0$ por Jordania lema, y usted va a terminar con
$$
\int_{-\infty}^\infty \frac{x\cos x - \sin x}{x^2+1}\,dx +
i \int_{-\infty}^\infty \frac{x\sin x + \cos x}{x^2+1}\,dx
= 2\pi i \operatorname{Res}(f;z=i).
$$
Para rematar, calcular el residuo y mirar la parte imaginaria de la igualdad anterior.