Experimento de la serie de Dirichlet - informática el coeficiente racional

Question

Vamos a considerar la secuencia de números de $a_n = 0,1,-1,0,1,-1,0,1,-1, ...$ ampliado periódicamente ( por lo que tiene período de $9$, $a_{n+10}=a_n$. De hecho, este es un carácter de Dirichlet $a_n = \chi_9(n)$ modulo 9.

EDITAR Siguientes Bruno Joyal sugerencia, he intentado

$$ \pi \sqrt{3} \cdot \sum_{n=1}^{150,000} \frac{\chi(n)}{n} \approx 0.19244478483 \approx [0, 3, 12092, 3, 1, 2, 1, 10, 1, 39, 6, 1, 1, 1, 1]$$

sugiriendo $L(\chi,1) = \pi \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{3}$ y de manera similar a $L(\chi,3) = \pi^3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{4}{81}$.

Sí, estoy tratando de encontrar generalizado de los números de Bernoulli para cuadrática personajes, $\chi: \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \to \{-1,1\}$.

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ORIGINAL

he calculado el incluso de Dirichlet de la serie numérica para ser

$$ \pi^2 \cdot \sum_{n=1}^{150,000} \frac{\chi(n)}{n^2} \approx 0.0159743129254 \approx [0, 62, 1, 1, 1, 1, 79, 6, 7, 1]$$

Puedo adivinar el que $L(\chi,2) = \pi^2 \cdot \frac{1}{62}$. La fracción puede ser $\frac{1}{63}, \frac{2}{125}$.

Cual es la correcta? Y ¿cómo podemos calcular el valor exacto. No parece ser un cerrado de valor para estos Dirichlet de la serie. Al menos, no en $\pi^{2k}\mathbb{Q}$.

Answer 1

Edit: Esto responde a la pregunta antes de que fuera editado.

Yo no creo que estas fórmulas (es decir,$L(\chi,2) = \frac{\pi^2}{62}$$L(\chi,4) = \frac{\pi^2 }{1906}$) son verdaderas.

Primer tema menor, es que su carácter de Dirichlet (que tiene un periodo de $9$ en lugar de $10$) no es primitivo, y es inducida a partir de la única primitiva de Dirichlet carácter de director de orquesta $3$, es decir, el símbolo de Legendre

$$\chi = (\cdot/3) :(\mathbf Z/3\mathbf Z)^\times \to \{\pm 1\}.$$

Su $L$-función es $L(\chi, s)$.

Desde $(-1/3)=-1$, $\chi$ es un extraño cuadrática de Dirichlet carácter de director de orquesta $3$, de ahí la completó $L$-función

$$\Lambda(\chi, s) = (\pi/3)^{-(s+1)/2}\Gamma((s+1)/2) L(\chi, s)$$

y por Gauss teorema en el signo de la funcional de la ecuación, la ecuación funcional es

$$\Lambda(\chi, s) = \Lambda(\chi, 1-s).$$

Debido a la presencia del factor de Gamma en la definición de $\Lambda(\chi, s)$, se deduce que el $L(\chi, s)$ "trivial ceros" en las impares negativos enteros. Por lo tanto, la funcional de la ecuación que relaciona el valor de $L(\chi, 2n)$ no $L(\chi, 1-2n)=0$, pero con el derivado $L'(\chi, 1-2n)$. Se espera que este sea un trascendental número algebraicamente independiente de $\pi$. El problema es que incluso los enteros positivos no son "críticos" de $L(\chi, s)$, au sens de Deligne (ver Deligne los Valores de $L$-de las Funciones y de los Períodos de las Integrales).

Uno puede decir algo positivo enteros impares. En los números enteros negativos, uno tiene

$$L(\chi, 1-n) = -B_{n, \chi}/n \in \mathbf Q$$

donde $B_{n, \chi}$ es la de Bernoulli generalizada número

$$B_{n, \chi} = {3^{n-1}}(B_n(1/3) - B_n(2/3)).$$Utilizando el funcional de la ecuación que encontrar una fórmula de la forma

$$L(\chi, 2n+1) = \pi^{2n+1} c_n$$

donde $c_n \in \mathbf Q$ es una función explícita de $n$ que lo voy a dejar de trabajar fuera (en este punto, usted tiene todos los ingredientes para hacerlo).