Línea que interseca tres (o cuatro) líneas dadas

Question

¿Cómo puedo encontrar una cuarta línea $L$ que interseca tres líneas dadas $L_1$ , $L_2$ , $L_3$ en el espacio 3D?

Podemos suponer que $L_1$ , $L_2$ , $L_3$ están en "posición general", por lo que no hay dos coplanares, etc.

Ni siquiera estoy seguro de que tres líneas sean suficientes para definir de forma única $L$ en realidad. Si tres líneas no son suficientes, ¿cuántas necesito?

La pregunta está relacionada con este . En concreto, véase la idea nº 4 de mi lista de enfoques sugeridos. Requiere encontrar una línea que se cruce con algunas dadas.

Editar :

Aparentemente, necesito cuatro líneas, no tres, para definir de forma única $L$ . Entonces, ¿cómo puedo construir una quinta línea que interseque cuatro ¿se le ha dado?

He encontrado este documento y este pero ambos son difíciles de leer para mí. Seguramente habrá habido soluciones antes de 2008 y, si es así, espero que sean más fáciles de entender.

Answer 1

Hay un conjunto de un parámetro de tales líneas, y su unión es una superficie reglada. La pregunta clásica de la geometría enumerativa es preguntar (como mucho, sobre $\Bbb R$ ) cuántas líneas se juntan cuatro líneas en posición general. (Este tipo de preguntas se plantean mejor en el espacio proyectivo. Pero en el espacio euclidiano por "posición general" se descarta cualquier tipo de paralelismo de planos y líneas, etc.)

Aquí tienes una pista sobre cómo empezar: $L_1$ y un punto arbitrario en $L_2$ determinar un plano, y $L_3$ interseca ese plano en un único punto.

Answer 2

Tenga en cuenta que las líneas están determinadas por 4 números (un punto con tres coordenadas que se pueden nirmalizar para que una coordenada sea 0, y una dirección con 2 coordenadas hasta la escala). Obsérvese que el requisito de que una recta se cruce con otra dada da una única ecuación (por ejemplo, para el eje x, el requisito es que y=0 cuando z=0 o viceversa), lo que reduce en uno el número de coordenadas libres. Por tanto, para llegar a una sola línea, habría que exigir que ésta intersecte a cuatro líneas.

Answer 3

Para ampliar el comentario de Ted Shifrin, suponiendo que se tienen cuatro líneas de inclinación $L_1$ , $L_2$ , $L_3$ y $L_4$ Una forma costructiva y fácil de encontrar una quinta línea que intersecte a las cuatro líneas sería la siguiente:

Construir dos superficies regladas (hiperboloides o paraboloides hiperbólicos) definidas unívocamente por $L_1$ , $L_2$ , $L_3$ y $L_1$ , $L_2$ , $L_4$ que forman los regímenes de las cuádricas $H_{123}$ y $H_{124}$ . Averiguar la intersección entre esas dos cuadriculas que contienen definitivamente $L_1$ y $L_2$ . Junto con estas dos líneas, la intersección debe contener también otras dos líneas (de los regímenes complementarios de las cuádricas), digamos $M$ y $N$ que intersecan las cuatro líneas dadas. He aquí un ejemplo: $$L_1=(-3,-5,-2)+ t(1,0,0)$$ $$L_2=(-3,-5,2)+ t(0,1,0)$$ $$L_3=(3,5,0)+ t(0,0,1)$$ $$L_4=(3,10,0)+ t(1,0,1)$$ $$H_{123}=4\,xy-10\,xz+6\,yz-60$$ $$H_{124}=4\,xy-15\,xz+4\,yz+15\,{z}^{2}-10\,x+4\,y-25\,z-130$$ La intersección de estas dos cuadriculas da lugar a 4 líneas (lo hice encontrando la base de Gröbner del ideal $\langle H_{123}, H_{124} \rangle$ usando el ordenamiento lexicográfico y factorizando el primer polinomio, hay otras formas de hacerlo y casi todos los entornos computacionales tienen un comando de base de Gröbner si quieres comprobarlo): $$L_1: z+2=y+5=0$$ $$L_2: -z+2=x+3=0$$ $$M: x+ \left( -\frac {1}{10}\,\sqrt {73}-{\frac {7}{10}} \right) y+\frac {1}{2}\,\sqrt {73}+ \frac {1}{2}= 5\,z\sqrt {73}+10\,\sqrt {73}+8\,y-55\,Z-70=0$$ $$N: x+ \left( \frac {1}{10}\,\sqrt {73}-{\frac {7}{10}} \right) y-\frac {1}{2}\,\sqrt {73}+\frac {1}{2}= 5\,z\sqrt {73}+10\,\sqrt {73}-8\,y+55\,Z+70=0$$ donde $M$ y $N$ intersección $L_i, i=1,2,3,4$ .

Answer 4

A veces tengo que escribir las fórmulas de las líneas en $\mathbb{R}^4$ que se encuentran con dos líneas dadas. Así es como lo hago.

Realiza un cambio proyectivo de coordenadas para que $L_1$ es el $z$ -eje y $L_2$ es la intersección del plano en el infinito con el $xy$ plano. Parametrizar $L_3$ y $L_4$ como $(a z+ b, c z + d, z)$ y $(a' z'+ b', c' z' + d', z')$ .

La línea que atraviesa $(a z+ b, c z + d, z)$ y $(a' z'+ b', c' z' + d', z')$ se reunirá $L_2$ si y sólo si $z=z'$ y se reunirá $L_1$ si y sólo si los vectores $\left[ \begin{smallmatrix} a z +b \\ c z + d \end{smallmatrix} \right]$ y $\left[ \begin{smallmatrix} a' z +b' \\ c' z + d' \end{smallmatrix} \right]$ son proporcionales. En otras palabras, queremos $$\det \begin{bmatrix} az+b & a' z + b' \\ cz+d & c' z+d' \\ \end{bmatrix} = 0.$$ Esta es una ecuación cuadrática que se puede resolver para $z$ .