Anillo comutativo y su grupo-álgebra y abelian-grupo-Álgebra como un anillo comutativo.

Question

En el curso del debate sobre las estructuras algebraicas, uno de mis mayores se llevó naturalmente a la consideración de la $\color{red} {geometric}$ versión de los siguientes:

Pregunta: Desde que podríamos considerar el espectro de una abelian-grupo-álgebra $\color{blue}{as\ a\ commutative\ ring}$, es natural preguntarse: ¿qué tipo de información de este grupo abelian podría ser obtenidos a partir de las consideraciones de este espectro?
Por otro lado, podemos ver el anillo conmutativo $\color{blue} {as\ an\ abelian\ group}$, y así formar su grupo-álgebra. Pedimos entonces una nueva pregunta: ¿qué relaciones hay entre el espectro del anillo, y el espectro de este grupo-el álgebra?
Aviso: Como aún no he escuchado nada sobre el tema, cualquier tipo de fuente o referencia en esta dirección es el más apreciado. Gracias de antemano.

También uno de mis mayores es muy intrigado en el $\color{green}{geometric}$ punto de vista de esta pregunta, por lo tanto, sería maravilloso si cualquier idea o observaciones cruciales son proporcionados. Gracias de nuevo.

Answer 1

La estructura multiplicativa de los anillos es crucial para hacer geometría algebraica. De hecho, la mayoría de ella se puede hacer para arbitrario conmutativa monoids (véase la obra de Connes, Deitmar, etc.), y, más en general, para conmutativa algebraica de las mónadas (ver Durov de la tesis).

No creo que la estructura aditiva lleva suficiente información acerca de un anillo para decir algo interesante. En particular, el functor $\mathsf{CRing} \to \mathsf{Ring}, (A,+,*) \mapsto \mathbb{Z}[A,+]$ pierde un montón de información. Y en general, no hay anillo homomorphisms $\mathbb{Z}[A] \to A$ o $A \to \mathbb{Z}[A]$ a todos.

EDIT: Si $A$ es sólo un grupo abelian (no se supone que el subyacente grupo aditivo de un anillo), a continuación, $\mathbb{Z}[A]$ es muy bien entendido anillo conmutativo (en particular, todos los problemas abiertos sobre divisores de cero, etc. en el grupo de los anillos se resuelven en este caso). Es la dirigida colimit del grupo de los anillos de $\mathbb{Z}[A']$ donde $A'$ ejecuta a través de la finitely generado subgrupos de $A$. Ahora, si $A$ es finitely generado, entonces, hay un isomorfismo $A \cong \mathbb{Z}^r \oplus \mathbb{Z}/n_1 \oplus \dotsc \oplus \mathbb{Z}/n_s$ para los números enteros $r,s$$n_1 | \dotsc | n_s>0$. De ello se desprende $\mathbb{Z}[A] \cong \mathbb{Z}[x_1^{\pm 1},\dotsc,x_r^{\pm 1}][y_1,\dotsc,y_s]/(y_i^{n_i}-1)_i$. En particular, podemos ver que si $A$ es de torsiones, a continuación, $\mathbb{Z}[A]$ es regular de la integral de dominio.