Boleanas, teorema de la piedra y ser isomorfo a un campo de juegos

Question

Estoy un poco confundido acerca de la dualidad entre álgebras booleanas y espacios topológicos o conjuntos. Sé el siguiente teorema (que es debido a la Piedra, que yo sepa):

Cada álgebra de boole $B$ es isomorfo al álgebra de clopen conjuntos de Piedra espacio (denotamos por a $B \cong CO(S(B))$.

Q1. También es cierto que dado algunas cero dimensional, compacto, espacio de Hausdorff $X$ uno tiene una homeomorphism $X \cong S(CO(X))$?

Q2 Es cierto que este teorema establece una equivalencia de catgeories de álgebras Booleanas y cero dimensional, compacto Hausdorff espacios?

De otro lado, también hay un siguiente teorema:

Cada álgebra de boole es isomorfo a un campo de conjuntos.

Q3 En algunas notas que he encontrado de este teorema, pero con el adicional de la suposición de que el álgebra ha de ser completa y atómica. Me pregunto ¿cuál es la diferencia: mi conjetura es que el teorema anterior afirma que dada un álgebra booleana $B$ uno puede encontrar un conjunto de $X$ y una incrustación de $B$ a $2^X$. Y no es un resultado que dice que esta incorporación está en el hecho de isomorfismo siempre que $B$ es completa y atómica. Por favor me corrija si estoy equivocado o confirmar si estoy en lo correcto.

Q4¿también tenemos una equivalencia de categorías de completar atómica álgebras Booleanas y conjuntos?

Y por último, me gustaría saber algún contexto histórico y el marco general: hasta donde yo sé, el teorema de Piedra es bastante profunda resultado. ¿Qué hay de los otros citados resultados, son también de profundidad o más bien simples observaciones, debido a la Piedra y ¿cuál es la cronología?

Perdóname tal elaborar pregunta, pero me gustaría tener una imagen clara: tal vez alguien encuentre esta discusión como una buena ocasión para la visión de dualidades que implican álgebras booleanas.

Answer 1

Q1. Sí, es cierto.

Q2. Sí, pero es una dualidad o una contravariante de equivalencia desde el functors entre las categorías contravariante.

Q3. La incrustación es $B \cong CO(S(B)) ⊆ \mathcal{P}(S(B))$, pero si $B$ es infinito, entonces hay libre ultrafilters en $B$ y un singleton que contiene un libre ultrafilter no está en la imagen de $B$ a través de esta integración. (si $p$ es un ultrafilter en $B$ e no es $b ∈ B$ tal que $p$ es la única ultrafilter que contengan $b$, $b$ es un átomo y $p$ es el principal y generadas por $b$).

El resultado sobre un isomorfismo entre el $B$ $\mathcal{P}(X)$ algunos $X$ que la considera una diferente homomorphism. Es decir, $h: B \to \mathcal{P}(At(B))$ la asignación a cada una de las $b ∈ B$ el conjunto de los átomos en $b$. Este homomorphism es inyectiva iff $B$ es atómica, y si $B$ es completo, entonces es surjective.

T4. Sí, pero de nuevo, es una dualidad / contravariante de equivalencia. Y los morfismos en completa álgebras Booleanas están completas. Considerar la contravariante powerset functor $\mathcal{P}(f): \mathcal{P}(Y) \to \mathcal{P}(X)$ define como $\mathcal{P}(f)(B) = f^{-1}[B]$$f: X \to Y$, y un functor contravariante $At(h): At(B) \to At(A)$ define como $At(h)(b) = \bigwedge h^{-1}[\uparrow b]$ $h: A \to B$ un completo homomorphism de completar atómica álgebras Booleanas.