Calcular la probabilidad de que una probabilidad de cabezas se encuentra en un intervalo dado

Question

Suponga que le da la vuelta una moneda $n$ de veces y obtener tiempos de cabezas $x$ donde $x

¿Qué confianza se puede decir que la probabilidad de que la moneda mostrando cabezas durante un sorteo al azar se encuentra entre $U_1$y $U_2$ ($0

Por ejemplo si lanza una moneda 500 veces y me sale la cabeza 240 veces, ¿cuál es la probabilidad y confianza con la cual puedo decir probabilidad de conseguir cabezas miente entre.45 y.55?

Answer 1

Si la probabilidad de cara es conocida

Si la probabilidad de cara es conocida, entonces usted no preguntar acerca de intervalo de confianza (marque aquí y aquí para la definición y más detalles), pero acerca de la distribución de cuantiles. Si usted lanza su moneda $n$ veces y observe $x \le n$ jefes, entonces, la tira puede ser descrita por una distribución binomial parametrizadas por el número de lanzamientos $n$ y la probabilidad de sacar de la cabeza $p$. Si le preguntas "¿cuál es la probabilidad de observar $x$ o más cabezas en $n$ tiros?", usted podría estar preguntándose acerca de la función de distribución acumulativa

$$ \Pr(X \le x) = F_X(x) = q $$

quantile function answers the opposite question, i.e. "what is the value of $x$ such that $\Pr(X \le x) = p$ for a given value $q$?",

$$ F_X^{-1}(q) = x $$

more precisely, since cumulative distribution function of a discrete distribution is a step function, we need a generalized inverse distribution function for it

$$ F_X^{-1}(q) = \inf \{\, x \in \mathbb{R}: F_X(x) \geq q \,\} $$

Binomial distribution does not have a closed-form quantile function, but most statistical software offers you to calculate it numerically (e.g. qbinom function in R). It can be also calculated "by-hand" for discrete distributions like binomial, since you can compute cumulative probabilities $q_i$ for each $x_i = 0,1,2,\dots,n $, and then simply choose such values of $q_i$ that correspond to the probabilities of interest.

If probability of heads is unknown

If, as stated later on in comments, we are dealing with hypothetical coin "whose properties are completely unknown", then this is a different problem. We would still assume binomial distribution for counts of heads $X$, but the "unknown properties" can be understood as assuming that probability of heads $p$ is a random variable. As noticed in the comments below by amoeba and Xi'an, this can be assumed as a Bayesian problem, in terms of beta-binomial model.

Since $p$ is random and can be anything, we assume for it a "uniform" prior, i.e. beta distribution with parameters $\alpha = \beta = 1$. If we toss the coin some number of times, then we can update our prior for the additional information. Since beta is a conjugate prior for binomial distribution, updating is very simple and updated parameters become $\alpha = \alpha + \text{número de cabezas}$ and $\beta = \beta + \text{número de colas}$ and the quantiles of interest can be calculated from posterior beta distribution parametrized by $\alpha'$ and $\beta'$.

The interval of interest can be easily obtained using theoretical quantiles. Two different kinds of intervals may be obtained in this scenario:

1. interval for number of heads $x$, que puede ser calculada a partir posterior predictivos de distribución que en este caso es un beta-binomial distribución, o

2. intervalo de posibles valores de $p$ que puede ser calculado de la distribución beta.

Como se señaló anteriormente, el intervalo puede ser calculado antes de ver los datos de antes de la distribución parametrizadas por $\alpha = \beta = 1$, o después de ver algunos datos y actualización, posterior distribución parametrizadas por $\alpha'$$\beta'$. Cada vez que observe los nuevos datos, usted puede actualizar su posterior por éste para realizar su estimación más precisa.

Answer 2

Suponiendo que los coin flips son independientes del número de cabezas tiene una distribución binomial con media np y varianza np(1-p), donde n es el tamaño de la muestra y p es la verdadera probabilidad de éxito. Para construir el intervalo de tiempo que usted especifique primero el nivel de confianza (toma a menudo como el 95%). Usted puede calcular el intervalo de confianza para la exacta binomial utilizando lo que se llama la Clopper-método de Pearson. Si el tamaño de la muestra es grande como el 500 se plantea como un ejemplo a continuación, puede utilizar la aproximación normal a construir el intervalo. Si el intervalo contiene 0,5 usted no puede rechazar la hipótesis de que usted tiene una moneda. Si 0.5 encuentra fuera del intervalo de usted a la conclusión de que la moneda está sesgada con un nivel de significación igual a 1 - el nivel de confianza, donde el nivel de confianza se expresa como una proporción.