Mostrando un espacio métrico compacto tiene un subconjunto denso contable

Question

Sé que este es separable, pero que no ha sido cubierto por el texto en este punto. Creo que mi prueba (abajo) para ser correcta, pero no es muy riguroso. Suponiendo que en realidad es correcto, podría alguien por favor me ayude a hacerlo más formal? (Si no es correcto, por favor ayuda con la prueba). Gracias.

Prueba: Supongamos $X$ ser un espacio métrico compacto. Deje $B_n = \{B(x,\frac1{n}) : x\in X\}$. ser la colección de abrir las bolas centradas en $x$. Deje $\{x\}^{(n)}$ el conjunto de los centros para algunos en particular $n$. A continuación, por la compacidad de $X$, también hay un número finito de centros para un determinado $n$ (correspondiente a cada una de las bolas).

[Aquí es donde tengo el problema correctamente diciendo lo que está en mi mente:]

Considere la posibilidad de $B(x,r_0)$ donde $r_0 = \frac{1}{n_0}$. Cuando se disminuye la magnitud de $r_0$$r_1$, aún debemos ser capaces de cubrir $X$. Lo que significa que algunos de abrir la bola(s) debe ser "formado" donde $B(x,r_0)$ una vez fue "cubierta". Así que mediante la adición de abrir bolas, también vamos a añadir a nuestra colección de centros. Esto significa que al $B(x,r_0)$, no fue originalmente un punto de $y \in B(x,r_0)$ s.t. $B(y,r') \subset B(x,r_0)$ algunos $r'$. Es decir, $B(x,r_0)$ contenía otro punto de $X$. Por lo tanto, por definición, $X$ contiene una contables subconjunto denso.

Answer 1

En primer lugar una anotación de observación: la notación $\{x\}^{(n)}$ es verdaderamente horrible. Parece como si vas a realizar alguna operación en el singleton set $\{x\}$ cuyo único elemento es $x$.

Su idea básica está bien, pero lo estás haciendo muy complicado, eso es parte de por qué usted está teniendo problemas para expresar claramente. Como otros han sugerido, no es necesario tratar de vincular a los centros de un 'nivel' a las de cualquier otro "nivel". He aquí una relativamente eficiente de la versión de la idea:

Para cada una de las $n\in\Bbb Z^+$ vamos $$\mathscr{U}_n=\left\{B\left(x,\frac1n\right):x\in X\right\}\;;$$ $\mathscr{U}_n$ is an open cover of the compact space $X$, so there is a finite $F_n\subseteq X$ such that $$\left\{B\left(x,\frac1n\right):x\in F_n\right\}$$ covers $X$. Let $D=\bigcup_{n\in\Bbb Z^+}F_n$; $D$ is a countable union of finite sets, so $D$ is countable. To see that $D$ is dense in $X$ let $s\in X$ and $\epsilon>0$ be arbitrary. There is an $n\in\Bbb Z^+$ such that $\frac1n\le\epsilon$, and there is then an $x\in F_n$ such that $s\in B\left(x,\frac1n\right)$. But then $d(x,y)<\frac1n\le\epsilon$, so $y\D\cap B(x,\epsilon)$, and $D$ is indeed dense in $X$. $\dashv$

Te gustaría nota, por cierto, que nos podría haber obtenido el mismo resultado que el que tenían cada uno de los conjuntos de $F_n$ sido contables: en realidad no teníamos necesidad de ellos para ser finito. Por lo tanto, el mismo argumento muestra que cada Lindelöf espacio métrico separable. Y esto en realidad es un resultado más fuerte, ya que $\Bbb R$ con su habitual métrica es Lindelöf, pero no compacto.

Answer 2

Creo que se puede ignorar donde exactamente son las nuevas pelotas que sustituyó a la antigua bolas. No hay ningún daño en la adición en redundante la bola de centro mientras todavía es finito, así que usted puede mantener el centro de la bola grande y el centro de la bola pequeña.

Así que creo que la 2ª parte puede ser fijado simplemente por esto:

Para cada una de las $n$ no es un conjunto finito de centro $C_{n}\subset \{x\}^{(n)}$ de manera tal que toda la bola de radio $\frac{1}{n}$ alrededor de estos centro de la cubierta de la $X$ completamente.

Se trata simplemente de producir el conjunto $Z=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} C_{i}$ que es contable.

Dado cualquier punto de $x\in X$, y cualquier $\epsilon>0$, entonces la bola de $B_{\epsilon}(x)$ debe intersectar $Z$. Por qué? Porque recuerda que no existe un $C_{n}\subset Z$ donde $\frac{1}{n}<\epsilon$ lo que significa que hay una colección de bola de radio $\frac{1}{n}$ de centro $C_{n}$ que cubren $X$ completamente, que significa $x$ no es más que $\frac{1}{n}<\epsilon$ a partir de al menos 1 punto en $C_{n}\subset Z$. Ya que esto se aplica a todos los $\epsilon>0$ $x$ es en el cierre de $Z$.

Answer 3

Que $\epsilon > 0$. Entonces, puesto que el espacio es compacto, hay $x_0, x_1, \cdots x_n$ para que ese % $ $$X = \bigcup_{k=0}^n B_\epsilon(x_k).$tal conjunto se llama una red $\epsilon$ $X$.

Para cada entero positivo $p$, elija una (finito) #% red-$1/p$ $N_p$ #%. Entonces $X$ es una Unión contable de conjuntos finitos, por lo que es contable. También es fácil argumentar que es denso en $\bigcup_p N_p$.