¿Asumiendo el axioma de elección, hay una forma de construir un subconjunto de los reales de cardinalidad $2^{\aleph_0}$ que no tiene ningún subconjunto perfecto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí: sólo construir un punto a la vez. Sólo hay $2^\omega$ perfecto subconjuntos, por lo que podemos enumerar como $\{P_\xi:\xi<2^\omega\}$. Suponga que en la etapa de $\eta<2^\omega$ hemos escogido los puntos de $x_\xi,y_\xi\in P_\xi$ por cada $\xi<\eta$ de tal manera que los puntos $x_\xi$, $\xi<\eta$, y $y_\xi$, $\xi<\eta$, son todas diferentes. $|P_\eta|=2^\omega$, y hemos escogido a menos de $2^\omega$ puntos hasta el momento, de manera que podamos elegir distintos
$$x_\eta,y_\eta\in\{x_\xi:\xi<\eta\}\cup\{y_\xi:\xi<\eta\}$$
y continuar con la construcción. Por último, vamos a $X=\{x_\xi:\xi<2^\omega\}$$Y=\{y_\xi:\xi<2^\omega\}$. Claramente $|X|=|Y|=2^\omega$, $X\cap Y=\varnothing$, y tanto $X$ $Y$ no tienen intersección vacía con cada conjunto perfecto (desde $x_\xi\in X\cap P_\xi$$y_\xi\in Y\cap P_\xi$), de modo que ni $X$ ni $Y$ puede contener un subconjunto perfecto.
Añadido: Una versión más sofisticada de esta construcción puede ser utilizado para la partición de $\mathbb{R}$ a $2^\omega$ conjuntos de cardinalidad $2^\omega$, ninguno de los cuales contiene un subconjunto perfecto. Deje $\{\langle\alpha_\xi,\beta_\xi\rangle:\xi<2^\omega\}$ ser una enumeración de $2^\omega\times 2^\omega$, y deje $\preceq$ ser un buen orden de $\mathbb{R}$ tipo $2^\omega$.
Supongamos que en la etapa de $\eta$ hemos elegido distintos $x_\xi\in\mathbb{R}$ tal que $x_\xi\in P_{\alpha_\xi}$ por cada $\xi<\eta$; como antes, $P_{\alpha_\eta}\setminus \{x_\xi:\xi<\eta\}\ne\varnothing$, y dejamos $x_\eta$ $\preceq$- menos de elemento de $P_{\alpha_\eta}\setminus \{x_\xi:\xi<\eta\}$. Claramente, la construcción pasa a través de a $2^\omega$.
Ahora, para cada una de las $\eta<2^\omega$ deje $X_\eta=\{x_\xi:\beta_\xi=\eta\}$; claramente $|X_\eta|=2^\omega$, y los juegos $X_\eta$, $\eta<2^\omega$ son pares distintos. La elección de la $\preceq$-menos de candidatos en cada etapa se asegura de que $\{X_\eta:\eta<2^\omega\}$ es una partición de a $\mathbb{R}$. Finalmente, para cualquier $\eta,\gamma<2^\omega$ no es un porcentaje ($\xi<2^\omega$tal que $\alpha_\xi=\gamma$$\beta_\xi=\eta$, y por la construcción de $x_\xi\in X_\eta\cap P_\gamma\ne\varnothing$; por lo tanto, cada una de las $X_\eta$ cumple con cada conjunto perfecto.
