Cálculo de la integral $\int \frac{u}{b - au - u^2}\mathrm{d}u$

Question

Después de trabajar en una oda encontrar que soy la necesidad de resolver la integral

$$\int \frac{u}{b - au - u^2}\mathrm{d}u$$

Trigonométricas subs, golpeando las cabezas contra las paredes y sollozando no han dado una solución. Sin embargo.

Puede usar una mano, gracias.

Answer 1

Usted puede escribir $b-au-u^2=\frac{a^2+4b}{4}-(u+\frac a2)^2$

Así pues, hay tres casos a considerar

A. $a^2+4b=0$

Entonces su integral es

$$\int\frac{\mathrm{d}u}{b-au-u^2}=-\int\frac{\mathrm{d}u}{(u+\frac a2)^2}=\frac{1}{u+\frac a2}+C$$

B. $a^2+4b>0$

El trinomio $b-au-u^2$ tiene dos raíces reales $\alpha,\beta$

$$\alpha=\frac{-a+\sqrt{a^2+4b}}{2}$$ $$\beta=\frac{-a-\sqrt{a^2+4b}}{2}$$

Parcial de la fracción de la descomposición de los rendimientos

$$\frac{1}{b-au-u^2}=\frac{1}{\beta-\alpha}\frac{1}{u-\alpha}-\frac{1}{\beta-\alpha}\frac{1}{u-\beta}$$

Por lo tanto

$$\int\frac{\mathrm{d}u}{b-au-u^2}=\frac{1}{\beta-\alpha}\int \left(\frac{1}{u-\alpha}-\frac{1}{u-\beta}\right)\,\mathrm{d}u=\frac{1}{\beta-\alpha}\ln \left|\frac{u-\alpha}{u-\beta}\right|+C$$

C. $a^2+4b<0$

El trinomio $b-au-u^2$ tiene dos raíces complejas. Vamos a aplicar el cambio de variable $u=\lambda t$$\lambda=\frac12\sqrt{|a^2+4b|}$:

$$\int\frac{\mathrm{d}u}{b-au-u^2}=\int\frac{\mathrm{d}u}{\frac{a^2+4b}{4}-(u+\frac a2)^2}=\int \frac{\lambda\,\mathrm{d}t}{-\lambda^2-(\lambda t+\frac a2)^2}\\=-\frac1\lambda\int \frac{\mathrm{d}t}{1+(t+\frac a{2\lambda})^2}=-\frac1\lambda\mathrm{Arctan}\left(t+\frac{a}{2\lambda}\right)+C\\=-\frac{2}{\sqrt{|a^2+4b|}}\mathrm{Arctan}\left(\frac{2u+a}{\sqrt{|a^2+4b|}}\right)+C$$

---

Hay otra solución en el caso de $a^2+4b>0$

Vamos a aplicar el cambio de variable $u=\lambda t$$\lambda=\frac12\sqrt{a^2+4b}$:

$$\int\frac{\mathrm{d}u}{b-au-u^2}=\int\frac{\mathrm{d}u}{\frac{a^2+4b}{4}-(u+\frac a2)^2}=\int \frac{\lambda\,\mathrm{d}t}{\lambda^2-(\lambda t+\frac a2)^2}\\=\frac1\lambda\int \frac{\mathrm{d}t}{1-(t+\frac a{2\lambda})^2}=\frac1\lambda\mathrm{Argth}\left(t+\frac{a}{2\lambda}\right)+C\\=\frac{2}{\sqrt{a^2+4b}}\mathrm{Argth}\left(\frac{2u+a}{\sqrt{a^2+4b}}\right)+C$$

Es válido si $\left|\frac{2u+a}{\sqrt{a^2+4b}}\right|<1$. Fuera de este intervalo, la integral es el lugar

$$\frac{2}{\sqrt{a^2+4b}}\mathrm{Argcoth}\left(\frac{2u+a}{\sqrt{a^2+4b}}\right)+C$$

Observe que $\mathrm{Argth} x=\frac12\ln\frac{1+x}{1-x}$, definido por $|x|<1$, mientras que de $\mathrm{Argcoth} x=\frac12\ln\frac{x+1}{x-1}$, definido por $|x|>1$. Su derivada es la misma, $\frac{1}{1-x^2}$.

Answer 2

Otro enfoque es utilizar la fracción parcial

$$ \frac{u}{b-au-u^2} = \frac{A}{u-\alpha}+\frac{B}{u-\beta} $$

donde $\alpha, \beta$ son la raíz de $ b-au-u^2 $. Es necesario determinar el $A$ y $B$. La respuesta tendrá la forma

$$ I = A\ln(u-\alpha)+B\ln(u-\beta)+C. $$

Nota: Aquí están las raíces

$$ \alpha = -\frac{a}{2}+\frac{\sqrt {{a}^{2}+4\,b}}{2},\quad \beta = -\frac{a}{2}-\frac{\sqrt {{a}^{2}+4\,b}}{2} $$