Integral de derivados y conjugado

Question

Función $f,g$ en la clase de Schwartz, quiero mostrar que %#% $ #%

Pero no veo cómo empezar, ya que no hay alguna forma fácil de manipular los integrales

Answer 1

Observe que el término con $xf(x)\overline{g(x)}$ no cambia en cualquier lado. La eliminación de eso, usted está a la izquierda con

$$\int_{\mathbb{R}} \frac{d}{dx}f(x)\overline{g(x)}dx = -\int_{\mathbb{R}} f(x)\frac{d}{dx}\overline{g(x)}dx.$$

Si usted hace uso de la integración por partes y el hecho de que la conjugación de los viajes con la diferenciación, usted tendrá el resultado.

Este tipo de resultado es en realidad una muy elegante que hace uso de la mecánica cuántica cuando se trata con la mecánica cuántica cargo de los operadores. La carga de los operadores para el oscilador armónico Hamiltonianos son (hasta la normalización) $-\frac{d}{dx} + x$$\frac{d}{dx} + x$, los cuales son adjoints de cada uno de los otros. Usted puede pensar en su consecuencia, se $\langle (-\frac{d}{dx}+x)f,g\rangle = \langle f,(\frac{d}{dx}+x)g\rangle$ (si se incorpora la de Schwartz clase en $L^2$ con la habitual interna del producto).

Answer 2

Sugerencia: Trate de integración por partes.