¿Podría implicar convergencia en medida converge casi por todas partes para la secuencia entera y no sólo el de la secuencia aquí?

Question

Este parece que no se ha pedido en este sitio antes. He estado de auto-estudio de teoría de la medida, y se topó con este problema.

Dada una sucesión de funciones medibles $\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ tal que para todos los $\epsilon \gt 0$

$$\sum_{n=1}^\infty \mu (\{x: |f_n (x)| \gt \epsilon \}) \lt \infty$$

Demostrar que $f_n \to 0$.e.

He dado el problema de probar y claramente la suma es finita implica el sumando converge a 0 que satisface la definición de la convergencia en medida. Además, sé que existe una larga $f_{n_j}$ convergencia de una.e a 0. De hecho, este es finita y medir el espacio, yo podría demostrar el enunciado del problema. Sin embargo, en esta configuración general, soy incapaz de probar la declaración.

Cualquier ayuda se agradece. Esta es mi primera vez publicando aquí, así que espero haber cumplido con todos los convenios.

Answer 1

WLOG todos $f_n$ son no negativos. Estoy suponiendo $\mu$ es una medida positiva.

Si lo falla, entonces $\limsup f_n(x) >0$ % todo $x$en un conjunto de medida positiva $A.$ que en implica que para algunos $\epsilon>0,$ $\limsup f_n(x) >\epsilon$ % todo $x$en un conjunto de medida positiva $B, B\subset A.$ así para cada $x\in B,$ $f_n(x) > \epsilon$ para infinitamente muchos $n.$ que nos indica el $\sumn \chi{{f_n > \epsilon}}(x) = \infty$todos$x\in B.$ por lo tanto

$$\infty = \int_B \left (\sumn \chi{{f_n > \epsilon}}\right )\,d\mu = \sum_n \intB\chi{{f_n > \epsilon}}\,d\mu = \sum_n \mu(B\cap {f_n > \epsilon}).$$

Pero $\mu(B\cap {f_n > \epsilon}) \le \mu({f_n > \epsilon})$ por cada % de así $n.$% #% contradiciendo la hipótesis dada.

Answer 2

Mirando @user39756 's respuesta, creo que tengo la respuesta. Mi corazonada es que esto es básicamente Borel-Cantelli yo.

Borel Cantelli me dice que:

Dado un countably indexado secuencia de conjuntos medibles $\{E_n\}_{n \in \mathbb{N}}$$\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n) \lt \infty$,$\mu(\limsup_{n \to \infty} E_n) = 0$.

En primer lugar recordar, que $\limsup_{n \to \infty} E_n = \bigcap_{i=1}^\infty \bigcup_{j=i}^\infty E_j$

Ahora, tenemos que definir nuestros conjuntos medibles apropiadas para este problema.

Para $m \in \mathbb{N}$, vamos a $A_{m,n} = \{x : |f_n(x)| \gt \frac{1}{m}\}$

Así definen $$A := \bigcup_{m \in \mathbb{N}} \bigcap_{i=1}^\infty \bigcup_{j=i}^\infty A_{m,j} = \bigcup_{m \in \mathbb{N}}\limsup_{n \to \infty} A_{m,n} = \{x : |\lim_{n\to \infty} f_n(x)| \gt 0 \} = \{x : \lim_{n\to \infty} f_n(x) \neq 0 \}$$

Queremos mostrar a $\mu (A) = 0$, $f_n \to 0$.e.

Ahora, $0 \le \mu (A) = \mu (\bigcup_{m \in \mathbb{N}}\limsup_{n \to \infty} A_{m,n}) \le \sum_{m \in \mathbb{N}} \mu(\limsup_{n \to \infty} A_{m,n}) = \sum_{m \in \mathbb{N}} 0 = 0$.

Los de arriba siguen de subadditivity, y el hecho de que para cada $m \in \mathbb{N}$, $\mu(\limsup_{n \to \infty} A_{m,n}) = 0$ por la finitud de la suma en el enunciado del problema para arbitrario $\epsilon \gt 0$.

Por lo tanto, $\mu(A) = 0$.

Agradecería cualquier comentario.

Answer 3

$m\in\mathbb{N}$, Que $$Fm=\sum{n=1}^{\infty}1_{{|f_n|>1/m}}. $$Then$$ \int Fm\,d\mu=\sum{n=1}^{\infty}\mu({|f_n|>1/m})