¿Puede haber una secuencia ilimitada de funciones continuas equitativas?

Question

Estoy tratando de encontrar una secuencia equicontinua de funciones$f_n$ en$(a, b)$ que está delimitada en algún lugar pero no en todas partes.

Estoy pensando en las líneas de$$f_n=\frac{1}{nx}$$ on $ (0, 1) $, pero obviamente esto no es equitativo.

¿Alguna pista?

Answer 1

Puedo entender/interpretar tu pregunta de la siguiente manera: Usted quiere encontrar un equicontinuous secuencia $\left(f_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ de las funciones de $f_{n}:\left(0,1\right)\to\mathbb{R}$ de manera tal que la conjunto $$ U:=\left\{ x\in\left(0,1\right)\,\medio|\,\existe M_{x}\\izquierdo(0,\infty\right)\,\forall n\in\mathbb{N}:\,\left|f_{n}\left(x\right)\right|\leq M_{x}\right\} $$ no está vacío, sino que además, no todos los de $\left(0,1\right)$.

Como vamos a ver ahora, como una secuencia no existe. Para ver esto, nos se mostrará que la $U$ es a la vez abierto y cerrado en $\left(0,1\right)$. Por la conexión de $\left(0,1\right)$, esto implica $U\in\left\{ \emptyset,\left(0,1\right)\right\} $.

1. $U$ está abierto: Vamos a $x_{0}\in U$ ser arbitraria. Por equicontinuity, no es $\varepsilon>0$ (potencialmente dependiendo $x_{0}$) con $\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right)\subset U$ y con $\left|f_{n}\left(x_{0}\right)-f_{n}\left(y\right)\right|<1$ todos los $y\in\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right)$. Pero este implica $$ \left|f_{n}\left y\right)\right|\leq\left|f_{n}\left(x_{0}\right)\right|+1\leq M_{x_{0}}+1 $$ para todos los $n\in\mathbb{N}$, de manera que obtenemos $\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right)\subset U$.

2. $U$ es cerrado en $\left(0,1\right)$. Para ver esto, vamos a $x_{0}\in\overline{U}\cap\left(0,1\right)$. Por equicontinuity, no es $\varepsilon>0$ $\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right)\subset U$ y con $\left|f_{n}\left(x_{0}\right)-f_{n}\left(y\right)\right|<1$ para todos los $y\in\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right)$. Pero desde $x_{0}\in\overline{U}$, hay algunos $y\in U\cap\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right)$. Esto implica $$ \left|f_{n}\left(x_{0}\right)\right|\leq\left|f_{n}\left y\right)\right|+1\leq M_{y}+1 $$ para todos los $n\in\mathbb{N}$. Por lo tanto, $x_{0}\in U$.