Encontrar el estimador del método de los momentos de $\theta$ y derivar su distribución asintótica

Question

Deje $Y_1, \ldots , Y_n$ ser una muestra aleatoria de una distribución uniforme en el intervalo de $(0, \theta)$ con un desconocido $\theta > 1$.

Supongamos que sólo se observa el $i = 1, \ldots , n$

$$X_i= \begin{cases} Y_i & \text{if } Y_i \leq 1, \\ 1 & \text{if } Y_i > 1. \end{cases}$$

Encontrar el Método de los Momentos estimador de $\theta$ y derivan su distribución asintótica

Así que me encontré con el valor esperado, como de costumbre a la hora de encontrar MME, sin embargo, yo era incapaz de resolver por $\theta.$ Esto es lo que obtuve:

$$ \operatorname{E}(X_i) = \frac{\theta-1} 2 +\frac 1 \theta$$

es mi $\operatorname{E}(X_i)$ mal? Porque me parece que no puede resolver por $\theta$ cuando equiparación a la media de la muestra

Answer 1

Tu$E[X_i]$ está realmente equivocado

• $Y_i \gt 1$ con probabilidad$\frac{\theta-1}{\theta}$ y$E[X_i \mid Y_i \gt 1]=E[1 \mid Y_i \gt 1]=1$
• $Y_i \le 1$ con probabilidad$\frac{1}{\theta}$ y$E[X_i \mid Y_i \le 1]=E[Y_i \mid Y_i \le 1]=\frac12$
• Asi que $E[X_i]= \frac{\theta-1}{\theta}+\frac{1}{2\theta}=1-\frac{1}{2\theta}$

Esto conducirá a un estimador para$\theta$ de$\dfrac{1}{2(1-\overline{X})}$

Answer 2

Usted tiene $$ X_i= \begin{cases} Y_i & \text{if } Y_i \leq 1, \\ 1 & \text{if } Y_i > 1. \end{casos} $$ Vamos $$ I_i= \begin{cases} 0 & \text{if } Y_i \leq 1, \\ 1 & \text{if } Y_i > 1. \end{casos} $$ Entonces $$ \operatorname{E}(X_i \mediados de I_i) = \left. \begin{cases} \dfrac 1 2 & \text{if } I_i=0 \\[6pt] 1 & \text{if } I_i=1 \end{casos} \right\} = \left. \begin{cases} \dfrac 1 2 & \text{with probability } \dfrac 1 \theta \\[6pt] 1 & \text{with probability } 1 - \dfrac 1 \theta \end{casos} \right\}. $$ Por lo tanto $$ \operatorname{E}(X_i) = \operatorname{E}(\operatorname{E}(X_i\mediados de I_i)) = \frac 1 2 \cdot \frac 1 \theta + 1 \cdot \left( 1 - \frac 1 \theta \right) = \frac {1 + (2\theta - 2)} {2\theta} = \frac{2\theta -1}{2\theta} = 1 - \frac 1 {2\theta}. $$ Configuración de la media de la muestra igual a la que hemos $$ \bar X = 1 - \frac 1 {2\theta} $$ $$ \frac 1 {2\theta} = 1-\bar X $$ y $$ \theta = \frac 1 {2(1-\bar X)}. $$