Una serie para probar $\frac{22}{7}-\pi>0$

Question

Después de T. Piezas contestó hay una serie de para mostrar el $22\pi^4>2143\,$? una pregunta natural es

Hay una serie que demuestra $\frac{22}{7}-\pi>0$?

Una de esas series, se puede encontrar la combinación lineal de las series que surgen de truncar $$\sum_{k=0}^\infty \frac{48}{(4k+3)(4k+5)(4k+7)(4k+9)} = \frac{16}{5}-\pi$$ a las dos y las tres condiciones, a saber

$$\sum_{k=2}^\infty \frac{48}{(4 k+3) (4 k+5) (4 k+7) (4 k+9)} = \frac{141616}{45045}-\pi$$ y $$\sum_{k=3}^\infty \frac{48}{(4 k+3) (4 k+5) (4 k+7) (4 k+9)} = \frac{2406464}{765765}-\pi$$ La resolución de $$a\left(\frac{141616}{45045}-\pi\right)+b\left(\frac{2406464}{765765}-\pi\right)=\frac{22}{7}-\pi$$ racional, $a,b$ y algunos álgebra manipulación se obtiene el resultado

$$\frac{16}{21} \sum_{k=0}^\infty \frac{1008 k^2+6952 k+12625}{(4 k+11) (4 k+13) (4 k+15) (4 k+17) (4 k+19) (4 k+21)}=\frac{22}{7}-\pi$$

Es interesante notar que los coeficientes necesarios para multiplicar los dos componentes de la serie son positivos $$a=\frac{113}{7·8·9}$$ $$b=\frac{391}{7·8·9}$$

debido a que el truncamiento puntos se han elegido de manera que

$$\frac{2406464}{765765}<\frac{22}{7}<\frac{141616}{45045}$$

Este procedimiento se obtiene un resultado que demuestra la demanda sin necesidad de tratamiento posterior, y es fácil de ver para demostrar $\frac{p}{q}-\pi>0$ para todas las fracciones entre el$\pi$$\frac{16}{5}$.

Ahora, a la luz de esta forma equivalente de Lehmer la fórmula de $$\pi-3=\sum_{k=1}^\infty \frac{4!}{(4k+1)(4k+2)(4k+4)}$$

todavía se puede pedir

Q1 Es que hay una serie que demuestra $\frac{22}{7}-\pi>0$, con una constante el numerador?

Q2 ¿hay una razón por la $113$ es el numerador de la $a$ coeficiente y el denominador de la siguiente convergente desde arriba $\frac{355}{113}$?

Edit: Una serie similar con menores coeficientes pueden ser obtenidos al aplicar el método anterior para $$\begin{align} \sum_{k=0}^\infty \frac{960}{(4 k+3) (4 k+5) (4 k+7) (4 k+9) (4 k+11) (4 k+13)} &= \frac{992}{315}-\pi \\ &= \frac{3·333-7}{3·106-3}-\pi \\ \end{align}$$ con el fin de obtener $$\sum_{k=0}^\infty \frac{96 (160 k^2+422 k+405)}{(4 k+3) (4 k+5) (4 k+7) (4 k+9) (4 k+11) (4 k+13) (4 k+15) (4 k+17)} = \frac{22}{7}-\pi$$

Q3 ¿Cuál es la relación entre el $\frac{992}{315}$ y el tercer convergente a $\pi$ $\frac{333}{106}$?

Answer 1

Q1

La evaluación de la siguiente serie $$\begin{align} &\sum_{k=0}^\infty \frac{240}{(4k+5)(4k+6)(4k+7)(4k+9)(4k+10)(4k+11)} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{4k+5}-\frac{4}{4k+6}+\frac{5}{4k+7}-\frac{5}{4k+9}+\frac{4}{4k+10}-\frac{1}{4k+11}\right) \\ &= \sum_{k=0}^\infty \int_{0}^1\left(x^{4x+4}-4x^{4x+5}+5x^{4k+6}-5x^{4k+8}+4x^{4k+9}-x^{4k+10}\right)dx \\ &= \int_{0}^1 x^4\sum_{k=0}^\infty \left(x^{4x}-4x^{4x+1}+5x^{4k+2}-5x^{4k+4}+4x^{4k+5}-x^{4k+6}\right)dx \\ &= \int_{0}^1 x^4\frac{1-4x+5x^2-5x^4+4x^5-x^6}{1-x^4}dx \\ &= \int_{0}^1 x^4\frac{(1-x^2)(1-x)^4}{(1-x^2)(1+x^2)}dx=\int_{0}^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}dx=\frac{22}{7}-\pi \\ \end{align}$$ muestra su conexión con Dalzell integral.

Esto puede escribirse como $$\sum_{k=1}^\infty \frac{240}{(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+5)(4k+6)(4k+7)}=\frac{22}{7}-\pi$$

por lo $\frac{22}{7}-\pi$ es obtenido mediante la adopción de un término de la suma de la serie $$\sum_{k=0}^\infty \frac{240}{(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+5)(4k+6)(4k+7)}=\frac{10}{3}-\pi$$

Consecutivos truncamientos rendimiento de la desigualdad

$$\pi...<\frac{141514}{45045}<\frac{10886}{3465}<\frac{22}{7}<\frac{10}{3}$$

Similar fracciones, pero ahora convergen a $\pi$ desde abajo, puede ser obtenido a partir de la serie

$$\sum_{k=0}^\infty \frac{240}{(4 k+3) (4 k+4) (4 k+5) (4 k+7) (4 k+8) (4 k+9)} = \pi-\frac{47}{15}$$

Este rendimientos

$$\frac{47}{15}<\frac{1979}{630}<\frac{141511}{45045}<\frac{9622853}{3063060}<...\pi$$

(Ver una similar de la desigualdad de la $\log(2)$)

La correspondencia entre la serie y las integrales

$$\sum_{k=n}^\infty \frac{240}{(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+5)(4k+6)(4k+7)}=\int_0^1 \frac{x^{4n}(1-x)^4}{1+x^2}dx$$

$$\sum_{k=n}^\infty \frac{240}{(4 k+3) (4 k+4) (4 k+5) (4 k+7) (4 k+8) (4 k+9)}=\int_0^1 \frac{x^{4n+2}(1-x)^4}{1+x^2}dx$$

Expresiones equivalentes

El término general de estas series puede escribirse en forma compacta mediante factoriales, los coeficientes binomiales o la Beta integral de la $B$ (ver este comentario por N. Elkies).

$$\begin{align} \frac{22}{7}-\pi &= 3840\sum_{k=1}^\infty \frac{(k+2)!(4k)!}{(4k+8)!k!} \\ &= \frac{4}{21} \sum_{k=1}^\infty \frac{{k+2 \choose 2}}{{4k+8\choose 8}} \\ &= \frac{16}{21} \sum_{k=1}^\infty \frac{B(4k+1,8)}{B(k+1,2)} \end{align}$$

Interpretación de $\frac{22}{7}-\pi$

Answer 2

Prueba excede el que $\frac{22}{7}$ $\pi$.

$$0

Prueba-

$$\int_0^1\frac{x^4(1-x^4)}{1+x^2}dx$$

$$=\int_0^1x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}dx$$

$$=\frac {x^7}{7}+\frac{2x^6}{3}+x^5-\frac{4x^3}{3}+4x-4tan^{-1}(x)\vert_0^1$$

Ahora, aplicando $tan^{-1}1=45^0=\frac\pi4$ y sustituyendo en la integral y resolver la integral cede $\frac{22}{7}-\pi$

Answer 3

Que $\sum_{k=0}^\infty an$cualquier serie convergente a$\pi$y elija cualquier serie convergente a$\frac{22}{7}$, por ejemplo$\sum{k=0}^\infty (\frac{15}{22})^n$

No hay problema para mostrar que $$\sum_{k=0}^\infty \left((\frac{15}{22})^n -a_n\right)=\frac{22}{7}-\pi\gt 0