Integral de $R(R^2+y^2)^{-3/2}$ con respecto a los $y$

Question

$$\int_0^\infty \frac{R}{\sqrt{R^2+y^2}\left(R^2+y^2\right)}dy$$

La integral indefinida parece ser %#% $ #%

$$\frac{-R}{\sqrt{R^2+y^2}}+C$ es una constante

Answer 1

Asumimos que $R$ es positiva.

Que $y=R\tan\theta$ o equivalente $\theta=\arctan(y/R)$. Como $y$ oscila entre $0$ $\infty$, el número $\theta$ oscila entre $0$ $\pi/2$.

Tenga en cuenta que $\sqrt{R^2+y^2}\left(R^2+y^2\right)= R^3 \sec^3\theta$ y $dy=R\sec^2\theta\,d\theta$. Nos encargamos del resto.

Answer 2

Con $y=Rx$, entonces $x=\tan(\theta)$de % de % obtenemos $$\begin{align} \int_0^\infty\frac{R}{\sqrt{R^2+y^2}\left(R^2+y^2\right)}\mathrm{d}y &=\frac1R\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+x^2}\left(1+x^2\right)}\ &=\frac1R\int_0^{\pi/2}\cos(\theta)\,\mathrm{d}\theta\ &=\frac1R \end {Alinee el}$$ parece que han miscomputed la primitiva.

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Informática la primitiva

Combinando las sustituciones anteriores con $y=R\tan(\theta)$, consiguen $$\begin{align} \int\frac{R}{\sqrt{R^2+y^2}\left(R^2+y^2\right)}\mathrm{d}y &=\frac1R\int\cos(\theta)\,\mathrm{d}\theta\ &=\frac1R\sin(\theta)+C\ &=\frac1R\frac{y}{\sqrt{R^2+y^2}}+C \end {Alinee el}$$

Answer 3

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ $$\begin{align}&\overbrace{\color{#66f}{\large\int_{0}^{\infty}{R \over \pars{R^{2} + y^{2}}^{3/2}}\,\dd y}} ^{\ds{y = \verts{R}\sinh\pars{\theta}}}\ =\ {R \over \verts{R}^{2}}\int_{0}^{\infty}\sech^{2}\pars{\theta}\,\dd\theta =\left.{1 \over R}\,\tanh\pars{\theta} \,\right\vert_{\,\theta\ =\ 0}^{\,\theta\ \to\ \infty} \\[3mm]&=\color{#66f}{\large{1 \over R}} \end{align}$$