¿Pueden converger las series aunque el término general no tenga límite?

Question

Considere la siguiente serie $$\sum_{n \geq 1} \sin \left(\frac{n^2+n+1}{n+1} \pi\right)$$

El término general de la serie no llega a cero, de hecho $$\nexists\lim_{n \to \infty} \sin \left(\frac{n^2+n+1}{n+1} \pi\right) $$

Sin embargo en el libro de texto encuentro que $$\sum_{n \geq 1} \sin \left(\frac{n^2+n+1}{n+1} \pi\right) = \sum_{n \geq 1} (-1)^n \sin \left(\frac{\pi}{n+1} \right)$$ Que converge condicionalmente.

Entiendo cómo se obtiene la última serie y por qué converge condicionalmente, pero siempre pensé que un necesario condición para cualquier convergencia de una serie es que el límite del término general sea cero.

¿Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\frac{n^2+n+1}{n+1}=n+\frac{1}{n+1}$$

Por lo tanto, podemos escribir

$$\sin\left(\frac{n^2+n+1}{n+1}\,\pi\right)=\sin\left(n\pi +\frac{\pi}{n+1}\right)=(-1)^n\sin\left(\frac{\pi}{n+1}\right)$$

Ciertamente, tenemos $\lim_{n\to \infty}(-1)^n\sin\left(\frac{\pi}{n+1}\right)=0$ y por lo tanto $\lim_{n\to \infty}\sin\left(\frac{n^2+n+1}{n+1}\,\pi\right)=0$ también.

Así pues, los términos generales de la serie se aproximan a $0$ . Y de hecho, por la prueba de Leibniz para series alternas, afirmamos que

$$\sum_{n=1}^\infty \sin\left(\frac{n^2+n+1}{n+1}\,\pi\right)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\sin\left(\frac{\pi}{n+1}\right)$$

converge.

Answer 2

Esta es una demostración indirecta de la convergencia, pero el punto principal es la aceleración de la convergencia.

La suma converge bastante lentamente, pero podemos acelerar la convergencia $$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\sin\left(\frac\pi{n+1}\right) &=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{\pi^{2k+1}}{(2k+1)!(n+1)^{2k+1}}\\ &=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac\pi{n+1}+\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\frac{\pi^{2k+1}}{(2k+1)!}\left(\tfrac{4^k-1}{4^k}\zeta(2k+1)-1\right)\\ &=\pi(\log(2)\color{#C00000}{-1})+\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\frac{\pi^{2k+1}}{(2k+1)!}\left(\tfrac{4^k-1}{4^k}\zeta(2k+1)\color{#C00000}{-1}\right)\\[6pt] &=-0.52202133938400117822 \end{align} $$ Obsérvese que la suma de los términos en rojo es $-\sin(\pi)=0$ pero la aproximación $$ \tfrac{4^k-1}{4^k}\zeta(2k+1)-1\sim-\frac1{2^{2k+1}} $$ muestra que aceleran la convergencia.

Answer 3

El término general llega a cero: \begin{equation} \mathrm{lim}_{n \to \infty} \mathrm{sin} (\frac{n^2+n+1}{n+1} \pi)=\mathrm{lim}_{n \to \infty} \mathrm{sin} \frac{\pi n^2(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}{n(1+\frac{1}{n})}=\mathrm{lim}_{n \to \infty} \mathrm{sin} \pi n=0 \end{equation}