Supongamos que tengo un espacio vectorial normado $(X,\|.\|)$ y un camino (diferencial) $\gamma:[0,1]\rightarrow X$ . ¿Se puede definir la longitud de la curva como $$L(\gamma)=\int_0^1\|\gamma'(t)\|\text{d}t$$ ¿O hay que aplicar otras modificaciones? En los artículos de la wikipedia que encontré, todas las pruebas se hacían a través de la norma euclidiana, sin que hubiera una noción de normas arbitrarias. Lo único que encontré que era más general fue el artículo sobre los submanifolds de riemann, pero no me parece bien utilizar algo que aún no hemos aprendido.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La definición que mencionas está bien, aunque sospecho que podrías querer una espacio vectorial afín en lugar de un simple espacio vectorial. Esto significa que puedes tener vectores basados en cualquier punto y no sólo en el origen. Por supuesto, está bien con un espacio vectorial, pero puede parecer un poco antinatural.
Si quieres avanzar en tu teoría, necesitas encontrar un parámetro de longitud de arco, es decir, un parámetro $s$ para lo cual $||d\gamma/ds|| = 1$ para todos $s$ . Después de eso, tendrá que pensar en lo que significa la curvatura.
Se sorprendería de lo variadas que pueden ser las geometrías. Hay una geometría basada en zona en lugar de la longitud. En esta geometría se busca un parámetro de "longitud" de arco $s$ para lo cual
$$ \det\left( \frac{d\gamma}{ds},\frac{d^2\gamma}{ds^2}\right) = 1$$
para todos $s$ . Observe que $\det$ mide el área orientada abarcada por $d\gamma/ds$ y $d^2\gamma/ds^2$ . Resulta que este parámetro de "longitud" de arco viene dado por:
$$s(t) = \int \det\left(\dot{\gamma},\ddot{\gamma}\right)^{1/3} \, dt \, . $$
