¿Alguien podría indicar precisamente la diferencia entre un campo escalar y un campo vectorial? No importa cuántas veces intente entender, siempre acabo confundido al final. ¿Qué es exactamente lo que los hace diferentes?
Un escalar es un número, como 3 ó 0.227. Tiene un tamaño (3 es más grande que 0.227) pero no una dirección. O no mucha; los números negativos van en la dirección opuesta a los números positivos, pero eso es todo. Los números no van al norte, este o noreste. No hay tal cosa como un norte 3 o un este 3.
Un vector es un tipo especial de número complicado que tiene un tamaño y una dirección. Un vector como $(1,0)$ tiene un tamaño de 1 y apunta al este. El vector $(0,1)$ tiene el mismo tamaño pero apunta al norte. El vector $(0,2)$ también apunta al norte, pero es el doble de grande que $(0,2)$. El vector $(1,1)$ apunta al noreste, y tiene un tamaño de $\sqrt2$, por lo que es más grande que $(0,1)$ pero más pequeño que $(0,2).
Para direcciones en tres dimensiones, tenemos vectores con tres componentes. $(1,0,0)$ apunta al este. $(0,1,0)$ apunta al norte. $(0,0,1)$ apunta hacia arriba.
Un campo escalar significa que tomamos un espacio, por ejemplo un plano, y medimos algún valor escalar en cada punto. Supongamos que tenemos una gran sartén de agua superficial en la estufa. Si el agua es lo suficientemente superficial, podemos pretender que es bidimensional. Cada punto en el agua tiene una temperatura; el agua sobre la llama de la estufa está más caliente que el agua en los bordes. Pero las temperaturas no tienen dirección. No hay tal cosa como una temperatura hacia el norte o hacia el este. La temperatura es un campo escalar: para cada punto en el agua hay una temperatura, que es un escalar, que indica qué tan caliente está el agua en ese punto.
Un campo vectorial significa que tomamos un espacio, como un plano, y medimos algún valor vectorial en cada punto. Quita la sartén de agua de la estufa y revuélvela. Algo del agua se mueve rápido, algo lento, pero eso no cuenta toda la historia, porque algo del agua se mueve al norte, algo al este, algo al noreste u otras direcciones. El movimiento hacia el norte y el movimiento hacia el oeste podrían tener la misma velocidad, pero el movimiento no es el mismo, porque es en diferentes direcciones. Para entender el flujo del agua necesitas saber la velocidad en cada punto, pero también la dirección en la que se está moviendo el agua en ese punto. La velocidad en una dirección se llama "velocidad", y la velocidad del agua remolino en cada punto es un ejemplo de un campo vectorial.
Creo que lo único que falta saber es que en una dimensión, por ejemplo, si tuvieras agua en un largo tubo en lugar de un plato plano, los vectores y escalares son la misma cosa, porque en una dimensión solo hay una forma de ir, hacia adelante. O puedes ir hacia atrás, lo cual es como ir hacia adelante una cantidad negativa. Pero no hay dirección al norte, este o noreste. Así que los vectores unidimensionales son intercambiables con los escalares: todas las cosas de vector funcionan para escalares, si pretendes que los escalares son vectores unidimensionales.
Si esto no está claro, por favor deja un comentario.
Hola @mi-nombre-de-usuario-es-una-mentira, ¿puedes explicar cómo obtuviste una magnitud de $\sqrt2$ con el vector $(1,1)$?
Un campo escalar es simplemente una única función, digamos $n$ variables.
La temperatura es un ejemplo de un campo escalar. La temperatura es una función de tres variables que definen la posición en un sistema de coordenadas espaciales. Podemos medir la temperatura $T$ en cada punto $(x, y, z)$ y así formar una función $T(x, y, z)$.
Un vector es un conjunto de funciones de $n$ variables.
El campo eléctrico es un ejemplo de un campo vectorial. El campo eléctrico está compuesto en realidad por tres funciones de tres variables. Medimos las tres componentes del campo eléctrico $\vec E$ a lo largo de los ejes de coordenadas en cada punto $(x, y, z)$ y así "creamos" tres funciones $\vec E(x, y, z)=\hat x E_x(x, y, z)+\hat y E_y(x, y, z)+\hat z E_z(x, y, z)$. Por lo tanto, el campo eléctrico tiene tanto magnitud como dirección en cada punto del espacio.
Ejemplo sencillo de campo escalar es cuando imaginas la temperatura de tu habitación en cualquier punto del espacio. Hay ciertas diferencias entre la temperatura cerca del lugar donde estás (calentando el aire) y otros lugares. Por lo tanto, puedes decir que el campo de temperatura es más grande/más pequeño cerca/lejos de ti. En otras palabras - puedes marcar en coordenadas $(x,y,z)$ que la temperatura cerca de ti es de 25 grados, la temperatura a un metro de distancia de ti $(x+1,y,z)$ es de 24 grados.
Ejemplo sencillo de campo vectorial es cuando haces una instantánea de una habitación y ves las partículas más pequeñas siguen su camino, por lo que la velocidad de ellas - el vector de cada partícula te dará lo que necesitas - un campo vectorial. En otras palabras - si estás caminando, haces que las partículas choquen contigo, por lo tanto su velocidad y dirección pueden cambiar puedes marcar en coordenadas $(x,y,z)$ que la velocidad de la partícula cerca de ti es de 10m/s y la dirección es $(x_1,y_1,z_1)$ y a un metro de ti la partícula tiene tal dirección $(x_2,y_2,z_2)$ y una velocidad que equivale a 8 m/s.
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¿Entiendes la diferencia entre un escalar y un vector?
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No, no estoy seguro. Bueno, un campo escalar se escribe como 2x+3 mientras que un campo vectorial se escribe como (x,2y) y ambos pueden estar en 2-D y 3-D? ¿Estoy en lo correcto?
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@Mi-leeWilson Tienes que diferenciar entre el dominio de definición del campo y el codominio. Tanto el campo vectorial como el campo escalar pueden tener el mismo dominio, por ejemplo, (R^2) como en tu ejemplo. Pero, un campo escalar tiene (R) como codominio, mientras que un campo vectorial tiene (R^n) con (n>1) como codominio. El campo vectorial mapea puntos a vectores, mientras que el campo escalar mapea puntos a escalares.