Demuestre que$I-T$ es un isomorfismo si$T:V \to V$ y$T^3=0$ y encuentra$(I-T)^{-1}$

Question

Dado lineal mapa de dimensión finita $T:V \to V$ $T^3=0$ $\exists v \in V| T^2(v) \neq 0$ demostrar que $I-T$ es un isomorfismo y encontrar $(I-T)^{-1}$.

Podemos pensar en la identidad de $(I-T^3)=(I-T)(I+T+T^2)$ y debido a $T^3=0$ $(I-T)(I+T+T^2)=I$ por lo tanto $I-T$ es invertible y $(I-T)^{-1}=(I+T+T^2)$.

Esto significa que $\text{ker}T=\{0\}$ porque para cualquier $v \in V$ no sólo la solución trivial a $Ax=v$.

Mi pregunta es porque el lineal mapa no es en realidad definida (no sabemos si es $\mathbb F^n\to \mathbb F^m$) ¿cómo sabemos que la matriz $A$ existe tal que $Ax=v$? Es porque tenemos la garantía de una representación única de la matriz para cualquier lineal mapa?

Answer 1

Usted no necesita ninguna matriz. Su cálculo es correcto: $$ (IT)(I+T+T^2)=TI+T-T^2+T^2-C^3=I $$ por lo $(I-T)^{-1}=I+T+T^2$. Ya que también se $(I+T+T^2)(I-T)=I$, usted incluso no tiene que invocar de dimensión finita, en orden a la conclusión de $I-T$ es un isomorfismo, porque encuentra su inversa.

La suposición de que $T^2\ne0$ es redundante. Puede ser utilizado para mostrar que, si $\dim V=3$, $\{v,T(v),T^2(v)\}$ es una base de $V$ tan pronto como $T^2(v)\ne0$.

Tenga en cuenta también que $\ker T\ne\{0\}$, de lo contrario $T$ sería inyectiva (y surjective en caso de $V$ es finito dimensionales) y $T^3\ne0$.