¿Para qué números enteros se puede generar esta matriz?

Question

Llamamos a un entero positivo $n$ "buena", si existe una $n \times n$ matriz tal que:

1) Cada elemento es $0$ o $1$.

2) Suma de los elementos de cada fila es distinto.

3) Suma de los elementos de cada columna es la misma de que en todas las demás columnas.

Por ejemplo, 2 es buena:

$$\begin{matrix}0&0\\1&1\end{matrix}$$

Encontrar el conjunto de $\mathbb G$ de sus buenos números.

Ya he probado en pequeños valores de $n$, parece que este tipo de matriz existe para todas las $n$ ( esto es, al menos para los valores que he probado ), es que la derecha? Y estoy buscando una prueba concreta. Cualquier ayuda se agradece. Gracias de antemano!

Answer 1

Si $n$ es par, forman pares de filas que sus números de $1$s añadir hasta $n$: $(0,n), (1,n-1),\dotsc(n/2-1,n/2+1)$. En cada par, arreglar el $1$s que no se superpongan. Luego cada pareja aporta $1$ a la suma de cada columna, y las sumas de filas son todas diferentes.

Si $n$ es impar, utilizar el % de pares $(1,n-1),(2,n-2),\dotsc,((n-1)/2,(n+1)/2)$y luego agregar una fila completa de $1$s.

[Ejemplos impares $n$ requerimiento:]

$n=3$:

$$\pmatrix{1&0&0\0&1&1\1&1&1}$$

$n=5$:

$$\pmatrix{1&0&0&0&0\0&1&1&1&1\1&1&0&0&0\0&0&1&1&1\1&1&1&1&1}$$

Answer 2

Vamos a ver, cada fila tiene suma en la mayoría de las $n.$ Por lo tanto, la suma total de todas las entradas deben ser $1+2+3+\dots+n = n(n+1)/2,$ si no permitimos que una fila vacía. Sin embargo, lo que permite una fila vacía los rendimientos que todas las posibles sumas de dinero para un $n \times n$ matriz es en el intervalo de $[n(n-1)/2,n(n+1)/2]$. Este intervalo contiene a $n$ números, así que uno de ellos debe ser divisible por $n,$ dicen que el número de $m = cn.$ Por lo tanto, cada columna debe tener $c$ cero entradas.

Esto es fácil de hacer, por el simple reordenación de las entradas de cada fila, como podemos moverlos entre las columnas sin cambiar filas.