Análogo de la función beta

Question

¿Cómo se llama el análogo multidimensional de la función Beta? La función Beta es $$B(x,y) = \int_0^1 t^x (1-t)^y dt$$

Tengo una función $$F(x_1, x_2,\ldots, x_n) = \int_0^1\cdots\int_0^1t_1^{x_1}t_2^{x_2}\cdots(1 - t_1 - \cdots-t_{n-1})^{x_n}dx_1\ldots dx_n$$ y no sé cómo se llama ni cómo se integra. Tengo una idea que según la función Beta: $$F(x_1, \ldots,x_n) = \dfrac{\Gamma(x_1)\cdots\Gamma(x_n)}{\Gamma(x_1 + \cdots + x_n)}$$

¿Existe algún análogo para esta integral como la forma de la función Gamma para la función Beta?

Answer 1

Puede que el integrando tenga la forma

$$ t_1^{x_1-1}(1-t_1)^{x_2-1}(1-t_1-t_2)^{x_3-1}\cdots(1 - t_1 - \cdots-t_{n-1})^{x_n-1} .$$

Answer 2

Lo que se puede mirar es el Integral de Selberg . Es una generalización de la función Beta y se define por

\begin{eqnarray} S_n(\alpha,\beta,\gamma) &=& \int_0^1\cdots\int_0^1\prod_{i=1}^n t_i^{\alpha-1}(1-t_i)^{\beta-1}\prod_{1\leq i<j\leq n}|t_i-t_j|^{2\gamma}dt_1\cdots dt_n \\ &=& \prod_{j=0}^{n-1}\frac{\Gamma(\alpha+j\gamma)\Gamma(\beta+j\gamma)\Gamma(1+(j+1)\gamma)}{\Gamma(\alpha+\beta+(n+j-1)\gamma)\Gamma(1+\gamma)} \end{eqnarray}