Determina estos dos ángulos (triángulo isósceles)

Question

Consulte el siguiente diagrama:

Esto es un triángulo isósceles.

Que los ángulos sean los siguientes: verde = G, rojo = R, azul = B, morado = P

G = pi - 2B

Ahora mi pregunta es A partir del valor del ángulo azul (B) - es posible determinar los ángulos R y P dados el radio y la longitud de arco. Los ángulos están formados por la tangente de los círculos en el punto de intersección

La longitud del arco es la longitud del arco "exterior", por ejemplo, para el círculo inferior derecho, va del punto G al punto H. El radio es simple-

Todos los círculos tienen el mismo radio, R1=R2=R3. En cuanto a la longitud del arco, creo que los dos círculos inferiores tienen el mismo L1=L2, pero los círculos superiores serán diferentes.

Intenté calcularlo, obtuve que el valor del ángulo púrpura es : 2pi - L/R; ¿Puede alguien verificar esto también? Me interesa sobre todo el ángulo rojo.

Gracias.

Answer 1

Esto es una reescritura completa de mi post anterior.

Supongamos que $\tan B=h$ . Hasta una transformación de similitud, las esquinas de su triángulo tendrán las coordenadas

$$A=\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\qquad D=\begin{pmatrix}0\\h\end{pmatrix}$$

Supongamos ahora un círculo de radio $r$ y se pueden calcular los puntos de intersección como

$$G=\begin{pmatrix} \frac{h^{2} + \sqrt{-h^{4} + 4 \, {\left(h^{2} + 1\right)} r^{2} - 2 \, h^{2} - 1} h + 1}{2 \, {\left(h^{2} + 1\right)}} \\[2ex] \frac{h^{3} + \sqrt{h^{2} + 1} \sqrt{-h^{2} + 4 \, r^{2} - 1} + h}{2 \, {\left(h^{2} + 1\right)}} \end{pmatrix}\qquad H=\begin{pmatrix}0 \\ -\sqrt{r^{2} - 1}\end{pmatrix}$$

Ahora el arco alrededor del punto $B$ es

$$\frac{L_2}{R_2}=2\pi- \arccos\frac{(G-B)\cdot(H-B)}{\lVert G-B\rVert\cdot\lVert H-B\rVert}$$

Introduciendo las coordenadas anteriores, se puede obtener una relación entre $r$ y $\frac{L_2}{R_2}$ pero esa fracción es muy poco lineal. Por lo tanto, es muy difícil calcular $r$ dado $\frac{L_2}{R_2}$ . Así que debería ser posible resolver esto numéricamente para un conjunto dado de números, pero dudo que sea capaz de llegar a una fórmula general cerrada para los ángulos.