Construir una cadena de homotopía de cuasi-isomorfismos de injectives

Question

Si me han dejado en el limitado complejos de $I^.$ $J^.$ de injectives y dos cuasi-isomorphisms (mapas que inducen isomorphisms en cohomology) $f^.$ $g^.$ entre ellos, es cierto que son de la cadena de homotópica?

Editar debería haber dicho aquí que $f$ $g$ inducir los mismos mapas en cohomology. Pero incluso esto no funciona como Jeremy Rickard la respuesta de abajo muestra. Ahora estoy interesado en la más especializada, en caso que se describe a continuación.

Quiero para la construcción de mapas $h^k$:$I^k\rightarrow J^{k-1}$ tal que $f^k-g^k=d_I\circ h^k+h^{k+1}\circ d_J$.

Esto es fácil para una exacta complejos por inducción + modding por núcleos (=imágenes) + inyectividad.

Aquí el tema es que yo quiero mostrar el concepto de una "hiper-derivados functor' está bien definido. Estos grupos están construidos para una izquierda acotado compleja $M^.$ de los objetos en algunos abelian categoría con suficiente injectives.

La definición: Definir un cuasi-isomorfismo, $i^.$ $M^.$ en un inyectiva compleja $I^.$ donde cada una de las $i^k$ un monomorphism y, a continuación, aplicar una izquierda functor exacto a $I^.$ a calcular cohomology en alguna categoría de destino.

El punto es que los grupos resultantes son "canónicamente' isomorfo ya que si elegimos dos cuasi-isomorphisms $i^.$, $j^.$ de $M^.$ a $I^.$ $J^.$ respectivamente, existe un mapa de la cadena de $f^.$ elevación de la identidad en $M^.$ entre ellos y los dos de la cadena de mapas debe ser homotópica. Este último punto es donde estoy atascado.

La referencia que yo estoy usando para esto es Voisin del Complejo de la Geometría Algebraica I página ~190.

He mirado en referencias en otros lugares (por ejemplo, Weibel, Gelfand-Manin) y son muy difíciles de seguir, ya que demostrar cosas que son mucho más general o que espectrales de la secuencia de los argumentos que todavía no estoy familiarizado con. Algunas otras notas, encontré en línea, indicó que la cadena de homotopy surge de cómo la $I^.$ está construido (algo que se llama un Cartan-Eilenberg resolución), pero no veo la manera de que sea pertinente.

Me siento como que me falta algo pequeño diagrama de chase argumento y estoy esperando que alguien puede sugerir algo.

Edit 2 La situación es $M^.$ inyecta a través de cuasi-isomorphisms $i^.$ $j^.$ a $I^.$ $J^.$ respectivamente. $I^.$, $J^.$ son complejos de injectives. A continuación, podemos mostrar que existe una $f^.$ $I^.$ $J^.$desplazamientos con $i^.$$j^.$. Quiero mostrar cualquiera de las dos mapas de complejos debe ser la cadena de homotópica.

Answer 1

La cadena de homotópica mapas de inducir el mismo mapa en la homología, así que yo creo que probablemente quiere asumir no sólo que $f^.$ $g^.$ son cuasi-isomorphisms, pero que inducen el mismo isomorfismo en la homología.

Pero incluso entonces no es necesario que la cadena de homotópica.

Deje $d:X\to Y$ ser cualquier no-split epimorphism de injectives (por ejemplo, para abelian grupos, el natural epimorphism $\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$), vamos a $$C^.:=\dots\to0\to X\stackrel{d}{\to}Y\to0\to\dots,$$ y vamos a $$D^.:=\dots\to0\to 0\to Y\to0\to\dots.$$ A continuación, la inclusión $inc^.:D^.\to C^.$ no es null-homotópica, pero induce el cero mapa en la homología.

Ahora vamos a $I^.=J^.=C^.\oplus D^.$, vamos a $f^.:I^.\to J^.$ ser el mapa de identidad, y deje $g^.=f^.+\begin{pmatrix}0&inc^.\\0&0\end{pmatrix}$.

A continuación, $f^.$ $g^.$ tanto inducir el mapa de identidad en la homología, pero no son de la cadena de homotópica.

[Por cierto, en la aplicación de hyper-derivados de functors, usted sabe más que eso $f^.$ $g^.$ inducir el mismo isomorfismo en la homología: usted también sabe que $f^.\circ i^.=g^.\circ i^.$, y esto es crucial para lo que quieres demostrar.]

Editar (en respuesta a "Editar 2"): Supongamos $i^.:M^.\to I^.$ $j^.:M^.\to J^.$ son inclusiones de complejos que son cuasi-isomorphisms, y que $f^.,g^.:I^.\to J^.$ satisfacer $f^.\circ i^.=j^.=g^.\circ i^.$ $f^.-g^.$ restringe a cero en $M^.$, por lo que induce un mapa de $I^./M^.\to J^.$. Desde la inclusión de $M^.$ a $I^.$ es un cuasi-isomorfismo, $I^./M^.$ es acíclico, y es fácil de construir un null-homotopy para el mapa de $I^./M^.\to J^.$. Componiendo con $I^.\to I^./M^.$, $f^.-g^.$ es null homotópica.