El próximo semestre, voy a dar una conferencia sobre (las matemáticas) de la relatividad general y todavía estoy pensando duro, cómo organizar y aún más importante, cómo motivar a todas las cosas.
Me estoy preguntando lo mínimo supuestos que tengo que hacer acerca de los objetos y de sus relaciones con el ser capaz de interpretar las fórmulas y su relación con los clásicos de la física Newtoniana. Yo debería explicar con más detalle:
Creo que la suposición de que el espacio-tiempo es modelada por una de cuatro dimensiones variedad diferenciable M es buena y es fácil estar motivado. También estoy bien con asumiendo que tenemos una conexión afín en el colector de porque puede ser medido por el movimiento de un (quantum) de partículas con spin a lo largo de un circuito cerrado y la comparación de giro de la dirección (y la relativa posición/fase de torsión) antes y después de ir a través del bucle.
Entonces podemos asumir que la holonomy de la conexión afín se encuentra dentro del grupo de Poincaré (porque evaluamos ningún otro holonomy). Con esto, podemos transporte paralelo de un escogido métrica de Lorentz en un espacio de la tangente a cada uno de los otros el espacio de la tangente, por lo que tenemos un colector de Lorentz. (Generalmente de textos sobre la teoría de la relatividad general comienzan con un colector de Lorenz, pero no explica de donde la medición de lengthes y los ángulos debe surgir de una varilla es de por sí una complicada objeto físico).
Ahora, habiendo dicho colector, podemos escribir la curvatura de Riemann y el tensor de torsión. Por simplicidad, supongamos que la torsión se desvanece por el momento. Dada la curvatura de Riemann, podemos contrato y escribir el tensor de Einstein G. Ahora las ecuaciones de campo de Einstein puede ser establecido como una definición: "El tensor de Einstein G es el estrés-tensor de energía", que es G nos dice donde podemos medir la materia.
Matemáticamente esto está muy bien (y en realidad de ningún contenido). Desde el punto de vista de la física, sin embargo, queremos ser capaces de interpretar la así definida la materia (o el estrés-tensor de energía para ser más precisos) como lo que se suele considerar a la materia (o la densidad de la masa o la presión o el estrés). ¿Qué otras entradas necesito para lograrlo?
¿Tengo que añadir la línea geodésica ecuación de la caída libre de la prueba de partículas, por ejemplo, o si este ya se sigue de mi definiciones (que es de las ecuaciones de campo) por encima (por supuesto, uno tiene que relacionarse de una prueba de partículas de la materia plazo)?
Soy consciente de la interpretación geométrica de la ecuación de campo de Einstein que relaciona el seguimiento de la tensión de la energía tensor para la segunda derivada del cambio de volumen de una pelota de caída libre de la prueba de partículas. Con el fin de utilizar esto, uno tiene que saber las ecuaciones de los movimientos de caída libre de la prueba de partículas en primer lugar. Además, uno tiene que comparar con el cambio de volumen en el límite Newtoniano. Pero, ¿cómo podemos entonces obtener el dependiente de la presión de las piezas en la traza de la tensión tensor de energía, porque Newtoniana de la gravedad sólo depende de la masa (el 00-parte)?
