¿Por qué está definida la derivada en un salto aunque la pendiente sigue siendo el mismo?

Question

He buscado en línea y no encontré casi nada. Lo que en la definición matemática de un derivado hace que el derivado de los siguientes es definido en .

\begin{equation*} f(x) =\begin{cases} 3x & \text{if } x

Answer 1

Aquí está mi intuitiva argumento de por qué su libro dice lo que hace:

Personalmente considero la derivada como la mejor aproximación lineal de una función en algún punto determinado. Para esta función, en $x=0$ no hay ninguna buena suerte de aproximación lineal por lo que no podemos tener un derivado.

Como para una más proofy argumento de considerar el límite $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ que estoy seguro de que usted reconoce como la derivada. Ahora tenga en cuenta que debemos tener este límite existe, no importa cómo nos acercamos a ella, es decir, si $h \in \mathbb{R}^-$ o $h \in \mathbb{R}^+$ o alguna combinación de estas dos declaraciones. Primero vamos a considerar cuando se $h$ es negativo y tratar de evaluar lo $f'(0)$ es: $$f'(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{3h - 2}{h} = + \infty$$ así que usted puede ver que este no existe.

Answer 2

Una función es continua en un punto si es diferenciable en él. Pero aquí tienes una función por trozos, que es discontinua en $0.$

Answer 3

Recordar la siguiente definición de un derivado: $$f'(x) = \lim\limits{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{.}$\lim\limits{h \to 0^{-}}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim\limits_{h \to 0^{+}}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{.} y este límite existe si y sólo si existen los límites de dos caras

Edit: mi intento de computar los límites: $$\begin{align} &\lim\limits{h \to 0^{-}}\dfrac{3(0+h)- 3(0) - 2}{h} = \lim\limits{h \to 0^{-}}\dfrac{3h-2}{h} = +\infty\ &\lim\limits{h \to 0^{+}}\dfrac{3(0+h)+2-3(0)-2}{h} = \lim\limits{h \to 0^{+}}3 = 3\text{.} \end {Alinee el} $$

Answer 4

Una cosa que siempre debe tener en cuenta es que si $f(x)$ es diferenciable en $x=a$ $f(x)$ es continua en $x=a$. Así esto significa que si no es continua en $x=0$ no puede ser diferenciable en ese punto tampoco.